Halle el dominio \( y \) las asintotas lineales de \( g(x)=-\frac{x-2}{\sqrt{2 x^{2}-3 x-2}} \). Justilique su respuesta.

Para la función \( g(x) = -\frac{x-2}{\sqrt{2x^{2}-3x-2}} \), determinaremos el dominio y las asíntotas lineales. ### Dominio de \( g(x) \) El denominador de la función, \( \sqrt{2x^{2}-3x-2} \), debe ser mayor que cero, ya que no se puede dividir por cero ni tener la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, debemos resolver la desigualdad: \[ 2x^{2} - 3x - 2 > 0 \] Para resolver esta desigualdad: 1. **Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática:** \[ 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \] Calculamos el discriminante: \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Las raíces son: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Esto nos da: \[ x_1 = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 2. **Determinar los intervalos:** La parabola \( 2x^{2} - 3x - 2 \) abre hacia arriba (coeficiente de \( x^2 \) positivo). Por lo tanto, la desigualdad \( 2x^{2} - 3x - 2 > 0 \) se cumple en los intervalos donde \( x < -\frac{1}{2} \) o \( x > 2 \). **Dominio de \( g(x) \):** \[ \boxed{D(g) = \left\{\, x \in \mathbb{R} \;|\; x < -\dfrac{1}{2} \;\text{o}\; x > 2\,\right\}} \] ### Asíntotas Lineales de \( g(x) \) Para determinar las asíntotas lineales, analizaremos el comportamiento de \( g(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) y a \( -\infty \). 1. **Para \( x \to \infty \):** \[ g(x) = -\frac{x - 2}{\sqrt{2x^{2} - 3x - 2}} \approx -\frac{x}{x\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en: \[ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] 2. **Para \( x \to -\infty \):** \[ g(x) \approx -\frac{x}{|x|\sqrt{2}} = -\frac{x}{-x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Por lo tanto, hay otra asíntota horizontal en: \[ y = \frac{1}{\sqrt{2}} \] **Asíntotas Lineales de \( g(x) \):** \[ \boxed{ \begin{aligned} y &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ y &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} } \]