Soit la fonction définie sur R par :

1. Montrer que : tel que

2. Étudier les variations de f sur et
3. Déterminer la valeur minimale absolue de
4. montrer que :

Pour démontrer l’égalité , on commence par calculer et . Nous avons et . La différence peut être mise sous une forme fractionnaire ayant un dénominateur commun de . En manipulant les numérateurs, on peut les réorganiser pour obtenir l’expression souhaitée. Il s’agit d’un exercice classique en analyse qui montre l’intérêt des différences de quotients.

Pour étudier les variations de sur les intervalles indiqués, nous allons d’abord dériver . La dérivée est donnée par la règle du quotient : . On analyse le signe de la dérivée sur chaque intervalle. Par exemple, sur , on peut montrer que , indiquant une fonction croissante. Pour , on cherche à déterminer les changements de signe pour dire si la fonction est montante ou descendante. Finalement, pour , on peut aussi évaluer si la fonction décroît ou non.

Pour déterminer la valeur minimale absolue de , on vérifie la valeur de en calculant les points critiques trouvés par dans les intervalles étudiés. Il est également judicieux d’évaluer les limites aux extrêmes des intervalles, notamment lorsque tend vers . En analysant ces valeurs et en tenant compte des valeurs obtenues aux bords de chaque intervalle, on obtiendra la valeur minimale de la fonction.

Pour montrer que , on évalue la limite de lorsque tend vers 2 et . En calculant et en observant que lorsque augmente, la fonction se rapproche asymptotiquement de 0, nous pouvons conclure que l’image de pour l’intervalle est bien .