a) $$ F(x)=8 x^{4}-2 x^{-5}+5 x^{\frac{2}{4}}+8 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la derivada de la función $$ F(x) = 8x^{4} - 2x^{-5} + 5x^{\frac{2}{4}} + 8 $$, sigamos paso a paso:

1. **Simplificar la función si es necesario:**
   
   Observamos que $$ 5x^{\frac{2}{4}} $$ puede simplificarse:
   
   $$
   5x^{\frac{2}{4}} = 5x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\sqrt{x}}
   $$
   
   Por lo tanto, la función simplificada es:
   
   $$
   F(x) = 8x^{4} - 2x^{-5} + \frac{5}{\sqrt{x}} + 8
   $$

2. **Derivar cada término por separado utilizando las reglas de derivación:**

- **Derivada de $$ 8x^{4} $$:**
   
     $$
     \frac{d}{dx}(8x^{4}) = 8 \cdot 4x^{4-1} = 32x^{3}
     $$
   
   - **Derivada de $$ -2x^{-5} $$:**
   
     $$
     \frac{d}{dx}(-2x^{-5}) = -2 \cdot (-5)x^{-5-1} = 10x^{-6}
     $$
   
   - **Derivada de $$ \frac{5}{\sqrt{x}} $$ o $$ 5x^{\frac{1}{2}} $$:**
   
     $$
     \frac{d}{dx}\left(5x^{\frac{1}{2}}\right) = 5 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2\sqrt{x}}
     $$
   
   - **Derivada de la constante $$ 8 $$:**
   
     $$
     \frac{d}{dx}(8) = 0
     $$
   
3. **Combinar todas las derivadas:**
   
   $$
   F'(x) = 32x^{3} + 10x^{-6} + \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} 
   $$
   
   Si prefieres expresar los exponentes negativos en forma de fracciones:
   
   $$
   F'(x) = 32x^{3} + \frac{10}{x^{6}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}
   $$

**Resultado Final:**

$$
F'(x) = 32x^{3} + \frac{10}{x^{6}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}
$$
La derivada de la función $$ F(x) = 8x^{4} - 2x^{-5} + 5x^{\frac{2}{4}} + 8 $$ es: $$ F'(x) = 32x^{3} + \frac{10}{x^{6}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} $$

a)

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