1.- Encuentra la solución a la siguiente desıgualdad: $$ x^{2}+4 x-12 \geq 0 $$ 2.- Encuentra las siguientes composicipones $$ \mathrm{F}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x} $$ $$ \mathrm{G}(\mathrm{x})=8 \mathrm{x}-5 $$ $$ \mathrm{~F}(\mathrm{x}) \quad \circ \quad \mathrm{G}(\mathrm{x})= $$ $$ \mathrm{F}(\mathrm{x}) \quad \circ \quad \mathrm{F}(\mathrm{x})= $$ 3.- Determina el dominio de la función $$ \mathrm{F}(\mathrm{x}) \quad \sqrt{3 x-8} $$

Question

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1. Resolver la desigualdad 
$$
x^{2}+4x-12\geq 0.
$$

**Paso 1.1: Factorizar el trinomio.**  
Buscamos factores que satisfagan  
$$
x^{2}+4x-12=(x+a)(x+b),
$$  
donde 
$$
a+b=4 \quad \text{y} \quad ab=-12.
$$  
Se verifica que $$a=6$$ y $$b=-2$$ (o viceversa) cumplen, ya que  
$$
6+(-2)=4 \quad \text{y} \quad 6\cdot(-2)=-12.
$$  
Por lo tanto, la factorización es  
$$
(x+6)(x-2)\geq 0.
$$

**Paso 1.2: Determinar los intervalos.**  
Los puntos críticos son $$x=-6$$ y $$x=2$$. Se analizan los signos:

- Para $$x<-6$$:  
  Sea $$x=-7$$, entonces  
  $$
  (-7+6)(-7-2)=(-1)(-9)=9>0.
  $$

- Para $$-62$$:  
  Sea $$x=3$$, entonces  
  $$
  (3+6)(3-2)=9\cdot 1=9>0.
  $$

Además, en $$x=-6$$ y $$x=2$$, el producto es cero, lo que satisface la desigualdad.

**Conclusión 1:**  
La solución es  
$$
x\in(-\infty,-6]\cup[2,\infty).
$$

---

2. Hallar las composiciones:

Dadas las funciones  
$$
F(x)=2x^{2}-5x \quad \text{y} \quad G(x)=8x-5.
$$

**2.1 Calcular $$F\circ G(x)=F(G(x))$$:**

Sustituir $$G(x)$$ en $$F$$:
$$
F(G(x))=2\bigl(8x-5\bigr)^2-5\bigl(8x-5\bigr).
$$
Primero, expandir el cuadrado:
$$
(8x-5)^2=64x^2-80x+25.
$$
Multiplicar por 2:
$$
2\bigl(64x^2-80x+25\bigr)=128x^2-160x+50.
$$
Calcular el segundo término:
$$
-5\bigl(8x-5\bigr)=-40x+25.
$$
Sumar ambos:
$$
F\circ G(x)=128x^2-160x+50-40x+25=128x^2-200x+75.
$$

**Conclusión 2.1:**  
$$
F\circ G(x)=128x^2-200x+75.
$$

**2.2 Calcular $$F\circ F(x)=F(F(x))$$:**

Sustituir $$F(x)$$ en $$F$$:
$$
F(F(x))=2\bigl(2x^{2}-5x\bigr)^2-5\bigl(2x^{2}-5x\bigr).
$$
Primero, desarrollar el cuadrado:
$$
(2x^{2}-5x)^2=4x^4-20x^3+25x^2.
$$
Multiplicar por 2:
$$
2(4x^4-20x^3+25x^2)=8x^4-40x^3+50x^2.
$$
Calcular el segundo término:
$$
-5(2x^{2}-5x)=-10x^2+25x.
$$
Sumar ambos:
$$
F\circ F(x)=8x^4-40x^3+50x^2-10x^2+25x=8x^4-40x^3+40x^2+25x.
$$

**Conclusión 2.2:**  
$$
F\circ F(x)=8x^4-40x^3+40x^2+25x.
$$

---

3. Determinar el dominio de la función  
$$
F(x)=\sqrt{3x-8}.
$$

La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero:
$$
3x-8\geq 0.
$$
Resolver:
$$
3x\geq 8 \quad \Rightarrow \quad x\geq \frac{8}{3}.
$$

**Conclusión 3:**  
El dominio es  
$$
\{ x \in \mathbb{R} \mid x\geq \frac{8}{3}\}.
$$
1. **Solución de la desigualdad:** $$ x^{2}+4x-12 \geq 0 $$ - **Factores:** $$ (x+6)(x-2) \geq 0 $$ - **Intervalos:** $$ x \leq -6 $$ o $$ x \geq 2 $$ - **Solución:** $$ x \in (-\infty, -6] \cup [2, \infty) $$ 2. **Composiciones de funciones:** - $$ F \circ G(x) = 128x^2 - 200x + 75 $$ - $$ F \circ F(x) = 8x^4 - 40x^3 + 40x^2 + 25x $$ 3. **Dominio de la función:** $$ F(x) = \sqrt{3x - 8} $$ - **Condición:** $$ 3x - 8 \geq 0 $$ - **Dominio:** $$ x \geq \frac{8}{3} $$

1.- Encuentra la solución a la siguiente desıgualdad:

2.- Encuentra las siguientes composicipones

3.- Determina el dominio de la función

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