Bestäm talet $$ m $$ så att funktionen $$ K(n)=\frac{m}{n}+n^{2} $$ får ett minimum för $$ n=2 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

För att bestämma värdet på $$ m $$ så att funktionen
$$
K(n) = \frac{m}{n} + n^{2}
$$
har ett minimum vid $$ n = 2 $$, följer vi dessa steg:

### 1. Derivera funktionen

För att hitta extrempunkter (minima eller maxima) tar vi derivatan av $$ K(n) $$ med avseende på $$ n $$:

$$
K'(n) = \frac{d}{dn}\left(\frac{m}{n} + n^{2}\right) = -\frac{m}{n^{2}} + 2n
$$

### 2. Sätt derivatan lika med noll vid $$ n = 2 $$

Eftersom vi vill att $$ n = 2 $$ ska vara en extrempunkt, sätter vi $$ K'(2) = 0 $$:

$$
0 = -\frac{m}{(2)^{2}} + 2 \cdot 2
$$
$$
0 = -\frac{m}{4} + 4
$$

### 3. Lös ekvationen för $$ m $$

$$
-\frac{m}{4} + 4 = 0
$$
$$
-\frac{m}{4} = -4
$$
$$
\frac{m}{4} = 4
$$
$$
m = 16
$$

### 4. Verifiera att det är ett minimum

För att säkerställa att $$ n = 2 $$ är ett minimum, kontrollerar vi andraderivatan:

$$
K''(n) = \frac{d}{dn}\left(-\frac{m}{n^{2}} + 2n\right) = \frac{2m}{n^{3}} + 2
$$

Vid $$ n = 2 $$ och $$ m = 16 $$:

$$
K''(2) = \frac{2 \cdot 16}{8} + 2 = 4 + 2 = 6
$$

Eftersom $$ K''(2) > 0 $$ är det ett lokalt minimum.

### Slutsats

Värdet på $$ m $$ som gör att funktionen $$ K(n) $$ har ett minimum vid $$ n = 2 $$ är:

$$
m = 16
$$
Värdet på $$ m $$ är 16.

Bestäm talet så att funktionen

får ett minimum för .