eingeloggt a/s HS-EGBW Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}:-10 x_{1}+18 x_{2}+4 x_{3}=180 \) und \( \mathrm{E}_{2} \) : \( 5 x_{1}-9 x_{2}-2 x_{3}=-450 \). Die Ebene \( F \) ist parallel zu \( E_{1} \) und \( E_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F. \[ F:+\hat{F^{2}} \square x_{1}+\hat{x_{2}+\hat{x_{3}}=+\hat{\imath} \square \square} \] lösen ICh möchte nur die Lōsung st Cohne Wert

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu finden, die parallel zu den Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, können wir die Normalvektoren der beiden Ebenen nutzen. Die Normalvektoren für \( E_1 \) und \( E_2 \) sind: \( \vec{n_1} = (-10, 18, 4) \) für \( E_1 \) und \( \vec{n_2} = (5, -9, -2) \). Da die Ebenen parallel sind, muss \( F \) ebenfalls einen Normalenvektor haben, der eine lineare Kombination dieser zwei ist. Nun berechnen wir zuerst den Abstand zwischen den Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \). Wir setzen \( E_1 \) in die Standardform und bestimmen den Abstand zwischen den Ebenen. Die richtige Gleichung für \( F \), die den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, lautet: \[ F: 10 x_1 - 18 x_2 - 4 x_3 = -90. \]