In the opposite figure \( \overrightarrow{\mathrm{DC}} \) bisects \( \angle \mathrm{ACB} \) , \( \mathrm{AE}=12 \mathrm{~cm} \). , \( \mathrm{CE}=6 \mathrm{~cm} \). \( \mathrm{BC}=9 \mathrm{~cm} \). rove that \( : \overline{\mathrm{DE}} / / \overline{\mathrm{BC}} \)

لحل هذه المسألة الهندسية وإثبات أن المستقيم \( \overline{\mathrm{DE}} \) موازٍ للمستقيم \( \overline{\mathrm{BC}} \)، سنتبع الخطوات التالية: 1. **معطيات المسألة:** - المستقيم \( \overrightarrow{\mathrm{DC}} \) يقسم الزاوية \( \angle \mathrm{ACB} \) إلى زوايا متساوية. - طول القطعة \( \mathrm{AE} = 12 \) سم. - طول القطعة \( \mathrm{CE} = 6 \) سم. - طول القطعة \( \mathrm{BC} = 9 \) سم. 2. **تحليل النسبية في الأضلاع:** - بما أن \( \overrightarrow{\mathrm{DC}} \) هو بُعد الزاوية \( \angle \mathrm{ACB} \)، فإن نسبة الأقسام المقابلة تتبع نظرية قاطع الزاوية: \[ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}} \] - نحسب طول \( \mathrm{AC} \): \[ \mathrm{AC} = \mathrm{AE} + \mathrm{CE} = 12 + 6 = 18 \text{ سم} \] - إذًا، نسبة الأقسام تصبح: \[ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} = \frac{18}{9} = 2 \] مما يعني أن \( \mathrm{AD} = 2 \times \mathrm{DB} \). 3. **إثبات التوازي باستخدام نظرية ثايل:** - نظرية ثايل تنص على أنه إذا كان \(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\)، فإن المستقيم \( \overline{\mathrm{DE}} \) يوازي المستقيم \( \overline{\mathrm{BC}} \). - نحسب النسبة: \[ \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \] - إذن، إذا كانت: \[ \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} = \frac{2}{3} \] فإن \( \overline{\mathrm{DE}} \parallel \overline{\mathrm{BC}} \). 4. **استنتاج:** - بناءً على الحسابات السابقة، نستنتج أن المستقيم \( \overline{\mathrm{DE}} \) موازٍ للمستقيم \( \overline{\mathrm{BC}} \). **النتيجة النهائية:** تم إثبات أن \( \overline{\mathrm{DE}} \parallel \overline{\mathrm{BC}} \) باستخدام نسبية الأضلاع ونظرية ثايل.