Exercice 2
Soit
Д. Calculer et
2. Quelle est la loi de
3. Calculer à l’aide de la formule d’Itô.
4. En déduire une relation entre et
5. Calculer
0. Quelle est la loi de

Pour la première question, on peut utiliser le fait que est une intégrale stochastique. On a puisque l’intégrale d’une fonction déterministe par rapport à un mouvement brownien est nulle. Pour la variance, on utilise le fait que , avec le calcul de qui donne finalement .

Ensuite, on se penche sur la loi de . Comme est une intégrale d’un processus martingale par rapport à un mouvement brownien, on peut dire que suit une loi normale .

Pour avec la formule d’Itô, on applique la règle de produit :

puisque .

En ce qui concerne la relation entre et , on peut montrer que et sont en fait reliés par l’équation

Pour calculer la variance de , on utilise les propriétés de l’intégration stochastique. On peut le faire en utilisant la formule , ce qui permettra d’arriver à la conclusion que suit également une loi normale, spécifiquement .