Esercizio 1. Si consideri l'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{52}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ dato da $$ F(p(x))=p(x+1)-x p^{\prime}(x) $$ dove $$ p^{\prime}(x) $$ indica la derivata prima del polinomio $$ p(x) $$ (a) Si determini una matrice associata ad $$ F $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per determinare una matrice associata all'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{52}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ definito da
$$ F(p(x)) = p(x+1) - x p^{\prime}(x), $$
procediamo nel seguente modo:

### Scelta delle Basi
- **Basi del dominio $$\mathbb{R}_{52}[x]$$**: Utilizziamo la base standard $$\{1, x, x^2, \ldots, x^{52}\}$$.
- **Basi del codominio $$\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$$**: Utilizziamo la base standard $$\{1, x, x^2\}$$.

### Calcolo di $$ F(x^k) $$
Per ogni monomio $$ x^k $$ nel dominio, calcoliamo $$ F(x^k) $$:
$$ F(x^k) = (x + 1)^k - x \cdot k x^{k-1} = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} x^{i} - k x^k. $$
Poiché il codominio è costituito da polinomi di grado al massimo 2, consideriamo solo i termini fino a $$ x^2 $$:
- **Per $$ k = 0 $$**:
  $$ F(1) = 1. $$
- **Per $$ k = 1 $$**:
  $$ F(x) = (x + 1) - x = 1. $$
- **Per $$ k = 2 $$**:
  $$ F(x^2) = (x + 1)^2 - x \cdot 2x = 1 + 2x + x^2 - 2x^2 = 1 + 2x - x^2. $$
- **Per $$ k \geq 3 $$**:
  $$ F(x^k) = (x + 1)^k - x \cdot k x^{k-1} = 1 + kx + \binom{k}{2}x^2. $$

### Costruzione della Matrice
La matrice associata a $$ F $$ avrà **3 righe** (corrispondenti ai coefficienti di $$ 1 $$, $$ x $$ e $$ x^2 $$ nel codominio) e **53 colonne** (corrispondenti ai monomi $$ x^0, x^1, \ldots, x^{52} $$ nel dominio).

La matrice $$ M $$ risulta quindi:

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \
0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 52 \
0 & 0 & -1 & 3 & \cdots & \binom{52}{2}
\end{pmatrix}
$$

**Dettagli delle Entrate:**
- **Prima Riga**: Tutti gli elementi sono 1, poiché il termine costante di $$ F(x^k) $$ è sempre 1.
- **Seconda Riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ k $$ (per $$ k \geq 1 $$) e 0 per $$ k = 0 $$.
- **Terza Riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ \binom{k}{2} $$ per $$ k \geq 2 $$ e 0 per $$ k = 0,1 $$.

### Esempio Illustrativo delle Prime Colonne:
$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \
0 & 0 & -1 & 3 & 6 & \cdots 
\end{pmatrix}
$$

Dove:
- La terza colonna corrisponde a $$ F(x^2) = 1 + 2x - x^2 $$.
- La quarta colonna corrisponde a $$ F(x^3) = 1 + 3x + 3x^2 $$.
- E così via fino a $$ x^{52} $$.

### Conclusione
La matrice associata all'endomorfismo $$ F $$ è una matrice $$ 3 \times 53 $$ con le strutture descritte sopra, che rappresenta l'azione di $$ F $$ sui monomi della base del dominio proiettati nella base del codominio.
La matrice associata all'endomorfismo $$ F $$ è una matrice $$ 3 \times 53 $$ con le seguenti caratteristiche: - **Prima riga**: Tutti gli elementi sono 1. - **Seconda riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ k $$ per $$ k \geq 1 $$ e 0 per $$ k = 0 $$. - **Terza riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ \binom{k}{2} $$ per $$ k \geq 2 $$ e 0 per $$ k = 0,1 $$. Esempio delle prime colonne: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \ 0 & 0 & -1 & 3 & 6 & \cdots \end{pmatrix} $$ Questa matrice rappresenta l'azione di $$ F $$ sui monomi della base del dominio proiettati nella base del codominio.

Esercizio 1. Si consideri l’endomorfismo dato da

dove indica la derivata prima del polinomio
(a) Si determini una matrice associata ad

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Esercizio 1. Si consideri l’endomorfismo dato da dove indica la derivata prima del polinomio (a) Si determini una matrice associata ad