Esercizio 1. Si consideri l'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{52}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ dato da $$ F(p(x))=p(x+1)-x p^{\prime}(x) $$ dove $$ p^{\prime}(x) $$ indica la derivata prima del polinomio $$ p(x) $$ (a) Si determini una matrice associata ad $$ F $$

Question

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Per determinare una matrice associata all'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{52}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ definito da
$$ F(p(x)) = p(x+1) - x p^{\prime}(x), $$
procediamo nel seguente modo:

### Scelta delle Basi
- **Basi del dominio $$\mathbb{R}_{52}[x]$$**: Utilizziamo la base standard $$\{1, x, x^2, \ldots, x^{52}\}$$.
- **Basi del codominio $$\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$$**: Utilizziamo la base standard $$\{1, x, x^2\}$$.

### Calcolo di $$ F(x^k) $$
Per ogni monomio $$ x^k $$ nel dominio, calcoliamo $$ F(x^k) $$:
$$ F(x^k) = (x + 1)^k - x \cdot k x^{k-1} = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} x^{i} - k x^k. $$
Poiché il codominio è costituito da polinomi di grado al massimo 2, consideriamo solo i termini fino a $$ x^2 $$:
- **Per $$ k = 0 $$**:
  $$ F(1) = 1. $$
- **Per $$ k = 1 $$**:
  $$ F(x) = (x + 1) - x = 1. $$
- **Per $$ k = 2 $$**:
  $$ F(x^2) = (x + 1)^2 - x \cdot 2x = 1 + 2x + x^2 - 2x^2 = 1 + 2x - x^2. $$
- **Per $$ k \geq 3 $$**:
  $$ F(x^k) = (x + 1)^k - x \cdot k x^{k-1} = 1 + kx + \binom{k}{2}x^2. $$

### Costruzione della Matrice
La matrice associata a $$ F $$ avrà **3 righe** (corrispondenti ai coefficienti di $$ 1 $$, $$ x $$ e $$ x^2 $$ nel codominio) e **53 colonne** (corrispondenti ai monomi $$ x^0, x^1, \ldots, x^{52} $$ nel dominio).

La matrice $$ M $$ risulta quindi:

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \
0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 52 \
0 & 0 & -1 & 3 & \cdots & \binom{52}{2}
\end{pmatrix}
$$

**Dettagli delle Entrate:**
- **Prima Riga**: Tutti gli elementi sono 1, poiché il termine costante di $$ F(x^k) $$ è sempre 1.
- **Seconda Riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ k $$ (per $$ k \geq 1 $$) e 0 per $$ k = 0 $$.
- **Terza Riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ \binom{k}{2} $$ per $$ k \geq 2 $$ e 0 per $$ k = 0,1 $$.

### Esempio Illustrativo delle Prime Colonne:
$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \
0 & 0 & -1 & 3 & 6 & \cdots 
\end{pmatrix}
$$

Dove:
- La terza colonna corrisponde a $$ F(x^2) = 1 + 2x - x^2 $$.
- La quarta colonna corrisponde a $$ F(x^3) = 1 + 3x + 3x^2 $$.
- E così via fino a $$ x^{52} $$.

### Conclusione
La matrice associata all'endomorfismo $$ F $$ è una matrice $$ 3 \times 53 $$ con le strutture descritte sopra, che rappresenta l'azione di $$ F $$ sui monomi della base del dominio proiettati nella base del codominio.
La matrice associata all'endomorfismo $$ F $$ è una matrice $$ 3 \times 53 $$ con le seguenti caratteristiche: - **Prima riga**: Tutti gli elementi sono 1. - **Seconda riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ k $$ per $$ k \geq 1 $$ e 0 per $$ k = 0 $$. - **Terza riga**: L'elemento nella colonna $$ k+1 $$ è $$ \binom{k}{2} $$ per $$ k \geq 2 $$ e 0 per $$ k = 0,1 $$. Esempio delle prime colonne: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \ 0 & 0 & -1 & 3 & 6 & \cdots \end{pmatrix} $$ Questa matrice rappresenta l'azione di $$ F $$ sui monomi della base del dominio proiettati nella base del codominio.

Esercizio 1. Si consideri l'endomorfismo \( F: \mathbb{R}_{52}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) dato da \[ F(p(x))=p(x+1)-x p^{\prime}(x) \] dove \( p^{\prime}(x) \) indica la derivata prima del polinomio \( p(x) \) (a) Si determini una matrice associata ad \( F \)

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