b. $$ \left(\frac{5}{7}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{7}{5}\right)^{-3} \div\left(\frac{3^{3}}{2^{2}}\right)^{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Reescribimos los términos con exponentes negativos utilizando la propiedad $$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n $$:
   $$
   \left(\frac{5}{7}\right)^{-2} = \left(\frac{7}{5}\right)^2 \quad \text{y} \quad \left(\frac{7}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{7}\right)^3.
   $$

2. Sustituimos en la expresión original:
   $$
   \left(\frac{7}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^3 \div \left(\frac{3^3}{2^2}\right)^2.
   $$

3. Aplicamos la potencia al cociente en el denominador:
   $$
   \left(\frac{3^3}{2^2}\right)^2 = \frac{3^{3 \cdot 2}}{2^{2 \cdot 2}} = \frac{3^6}{2^4}.
   $$

4. La expresión se convierte en:
   $$
   \frac{\left(\frac{7}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^3}{\frac{3^6}{2^4}}.
   $$

5. Simplificamos el numerador utilizando la propiedad de las potencias:
   $$
   \left(\frac{7}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^3 = \frac{7^2}{5^2} \cdot \frac{5^3}{7^3} = \frac{7^2 \cdot 5^3}{5^2 \cdot 7^3}.
   $$
   Simplificando, restamos los exponentes de bases iguales:
   $$
   = \frac{5^{3-2}}{7^{3-2}} = \frac{5}{7}.
   $$

6. Entonces, la expresión se reduce a:
   $$
   \frac{\frac{5}{7}}{\frac{3^6}{2^4}}.
   $$

7. Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su inversa:
   $$
   \frac{5}{7} \cdot \frac{2^4}{3^6}.
   $$

8. Calculamos los valores de las potencias:
   $$
   2^4 = 16 \quad \text{y} \quad 3^6 = 729.
   $$

9. La expresión final es:
   $$
   \frac{5}{7} \cdot \frac{16}{729} = \frac{5 \cdot 16}{7 \cdot 729} = \frac{80}{5103}.
   $$

La respuesta simplificada es $$\frac{80}{5103}$$.
La respuesta simplificada es $$\frac{80}{5103}$$.

b.

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