2. $$ \left\{x_{n}\right\} $$ ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari topilsin. $$ x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}(-1)^{n}+\sin \frac{n \pi}{4} $$ 3. Limit hisoblansin. $$ \lim \left(\sqrt{1+x+x^{2}}-\sqrt{1-x+x^{2}}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

2. Рассмотрим последовательность $$ x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n (-1)^n + \sin \frac{n \pi}{4} $$.

Сначала найдем предел $$ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ при $$ n \to \infty $$:
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.
$$
Таким образом, при больших $$ n $$ мы можем записать:
$$
x_n \approx e (-1)^n + \sin \frac{n \pi}{4}.
$$

Теперь рассмотрим $$ \sin \frac{n \pi}{4} $$. Эта функция принимает значения:
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ при $$ n \equiv 1 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = 1 $$ при $$ n \equiv 2 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ при $$ n \equiv 3 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = 0 $$ при $$ n \equiv 4 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ при $$ n \equiv 5 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = -1 $$ при $$ n \equiv 6 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ при $$ n \equiv 7 \mod 8 $$,
- $$ \sin \frac{n \pi}{4} = 0 $$ при $$ n \equiv 0 \mod 8 $$.

Таким образом, последовательность $$ x_n $$ будет колебаться между двумя значениями, зависящими от четности $$ n $$:
- Для четных $$ n $$: $$ x_n \approx e + \sin \frac{n \pi}{4} $$ (значения будут колебаться от $$ e - 1 $$ до $$ e + 1 $$).
- Для нечетных $$ n $$: $$ x_n \approx -e + \sin \frac{n \pi}{4} $$ (значения будут колебаться от $$ -e - 1 $$ до $$ -e + 1 $$).

Таким образом, верхний предел:
$$
\overline{\lim_{n \to \infty} x_n} = e + 1,
$$
нижний предел:
$$
\underline{\lim_{n \to \infty} x_n} = -e - 1.
$$

3. Рассмотрим предел:
$$
\lim_{x \to 0} \left( \sqrt{1 + x + x^2} - \sqrt{1 - x + x^2} \right).
$$

Для вычисления этого предела можно воспользоваться рационализацией:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + x^2) - (1 - x + x^2)}{\sqrt{1 + x + x^2} + \sqrt{1 - x + x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sqrt{1 + x + x^2} + \sqrt{1 - x + x^2}}.
$$

Теперь подставим $$ x = 0 $$:
$$
\sqrt{1 + 0 + 0^2} + \sqrt{1 - 0 + 0^2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2.
$$

Таким образом, предел равен:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2x}{2} = \lim_{x \to 0} x = 0.
$$

Ответ:
1. Верхний предел: $$ e + 1 $$, нижний предел: $$ -e - 1 $$.
2. Предел: $$ 0 $$.
2. Верхний предел: $$ e + 1 $$, нижний предел: $$ -e - 1 $$. 3. Предел: $$ 0 $$.

ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari topilsin.

Limit hisoblansin.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari topilsin. Limit hisoblansin.