En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor $$ y $$, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

Question

En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor $$ y $$, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & 	ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & 	ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & 	ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

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Para analizar cada uno de los incisos y determinar por qué la integral es impropia, así como si se le puede asignar un valor $$ y $$, procederemos de la siguiente manera:

### a) $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx $$

**Análisis:**
- Esta integral es impropia porque el límite superior de integración es infinito ($$+\infty$$).
- Para evaluar la integral, se puede reescribir como el límite:
  $$
  \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx
  $$

**Cálculo:**
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
$$
Por lo tanto:
$$
\lim_{b \to +\infty} \left[ \ln|b| - \ln|1| \right] = \lim_{b \to +\infty} \ln|b| = +\infty
$$

**Conclusión:**
- La integral diverge y no se le puede asignar un valor.

### b) $$ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx $$

**Análisis:**
- Esta integral es impropia porque el límite inferior de integración es $$-\infty$$.
- Además, hay un punto de discontinuidad en $$ x = 1 $$, pero no está en el intervalo de integración.

**Cálculo:**
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx
$$
La integral converge, ya que $$ \frac{1}{(x-1)^{2}} $$ es continua en el intervalo $$(- \infty, 0)$$.

**Conclusión:**
- La integral converge y se le puede asignar un valor.

### c) $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx $$

**Análisis:**
- Esta integral es impropia porque el límite superior de integración es infinito ($$+\infty$$).

**Cálculo:**
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx
$$
$$
\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C
$$
Por lo tanto:
$$
\lim_{b \to +\infty} \left[ -e^{-b} - (-e^{0}) \right] = \lim_{b \to +\infty} \left[ -e^{-b} + 1 \right] = 1
$$

**Conclusión:**
- La integral converge y se le puede asignar el valor $$ y = 1 $$.

### d) $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx $$

**Análisis:**
- Esta integral es impropia porque se extiende desde $$-\infty$$ hasta $$+\infty$$.

**Cálculo:**
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} x e^{-x^{2}} \, dx
$$
La función $$ x e^{-x^{2}} $$ es una función impar, por lo que:
$$
\int_{-a}^{a} x e^{-x^{2}} \, dx = 0
$$
Por lo tanto, al tomar los límites:
$$
\lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} x e^{-x^{2}} \, dx = 0
$$

**Conclusión:**
- La integral converge y se le puede asignar el valor $$ y = 0 $$.

### Resumen de resultados:
- a) Diverge.
- b) Converge (valor no calculado).
- c) Converge (valor $$ y = 1 $$).
- d) Converge (valor $$ y = 0 $$).
a) La integral diverge y no se le puede asignar un valor. b) La integral converge y se le puede asignar un valor, pero no se calcula. c) La integral converge y se le puede asignar el valor $$ y = 1 $$. d) La integral converge y se le puede asignar el valor $$ y = 0 $$.

En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana-
licen si se le puede asignar un valor , cuando corresponda, indiquen
cuál es ese valor.

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En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor , cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor.