Вычислите: $$\int (4t^3 - 7t) \, dt$$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы вычислить интеграл $$\int (4t^3 - 7t) \, dt$$, воспользуемся правилом интегрирования для степенных функций.

Интеграл можно разбить на два отдельных интеграла:

$$
\int (4t^3 - 7t) \, dt = \int 4t^3 \, dt - \int 7t \, dt
$$

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.

1. Для первого интеграла:

$$
\int 4t^3 \, dt = 4 \cdot \frac{t^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{t^4}{4} = t^4
$$

2. Для второго интеграла:

$$
\int 7t \, dt = 7 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} = 7 \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{7}{2} t^2
$$

Теперь подставим результаты обратно в выражение:

$$
\int (4t^3 - 7t) \, dt = t^4 - \frac{7}{2} t^2 + C
$$

где $$C$$ — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

$$
\int (4t^3 - 7t) \, dt = t^4 - \frac{7}{2} t^2 + C
$$
$$ \int (4t^3 - 7t) \, dt = t^4 - \frac{7}{2} t^2 + C $$

Вычислите: