8 Comprueba si son ciertas estas afirmaciones. a) Si \( \operatorname{sen} \alpha=0,5 \); entonces \( \cos \alpha=0,5 \) b) \( \operatorname{si} \operatorname{tg} \alpha=1 \); entonces \( \cos \alpha=\operatorname{sen} \alpha \). c) Si \( \cos \alpha=0,8 \); entonces tg \( \alpha \) es menor que 1 .

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones proporcionadas: ### a) Si \( \sin \alpha = 0.5 \), entonces \( \cos \alpha = 0.5 \) **Falso.** La relación entre el seno y el coseno de un ángulo está dada por la identidad trigonométrica: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Si \( \sin \alpha = 0.5 \), entonces: \[ \cos^2 \alpha = 1 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75 \\ \cos \alpha = \pm \sqrt{0.75} \approx \pm 0.866 \] Por lo tanto, si \( \sin \alpha = 0.5 \), \( \cos \alpha \) no puede ser 0.5, sino aproximadamente 0.866. ### b) Si \( \tan \alpha = 1 \), entonces \( \cos \alpha = \sin \alpha \) **Verdadero.** La tangente de un ángulo está definida como: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Si \( \tan \alpha = 1 \), entonces: \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 \implies \sin \alpha = \cos \alpha \] Por lo tanto, la afirmación es correcta. ### c) Si \( \cos \alpha = 0.8 \), entonces \( \tan \alpha \) es menor que 1 **Verdadero.** Dado \( \cos \alpha = 0.8 \), podemos encontrar \( \sin \alpha \) usando la identidad trigonométrica: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - 0.64 = 0.36 \implies \sin \alpha = \pm 0.6 \] Entonces, la tangente es: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 \quad \text{o} \quad \tan \alpha = \frac{-0.6}{0.8} = -0.75 \] En ambos casos, \( |\tan \alpha| = 0.75 < 1 \). Por lo tanto, la afirmación es correcta. ### **Resumen:** - **a)** Falsa - **b)** Verdadera - **c)** Verdadera