1. Considere los puntos del plano \( A=\binom{-1}{3}, B=\binom{250}{4} \) y \( C=\binom{1004}{7} \). (a) Verifique que \( A, B \) y \( C \) no son colineales. (b) ¿Pertenece el punto \( D=\binom{1002}{7} \) al triángulo \( \Delta(A B C) \) ? Justifique la respuesta. 2. Considere los puntos del plano \( A=\binom{-1}{6}, B=\binom{-4}{2} \) y \( C=\binom{3}{3} \). (a) Verifique que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales. (b) Verifique que el triángulo \( \Delta(A B C) \) es isósceles. (c) Halle una ecuación general de la bisectriz del ángulo con vértice \( A \). (d) Halle una ecuación general de la mediatriz del lado \( \overline{A B} \).

Para verificar que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales, podemos calcular el área del triángulo formado por los puntos. Usamos la fórmula del determinante: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Sustituyendo los puntos \( A = (-1, 3) \), \( B = (250, 4) \) y \( C = (1004, 7) \): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -1(4-7) + 250(7-3) + 1004(3-4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1(-3) + 250(4) + 1004(-1) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 3 + 1000 - 1004 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1 \right| = \frac{1}{2} \] Como el área es diferente de cero, los puntos no son colineales. Para determinar si el punto \( D=\binom{1002}{7} \) pertenece al triángulo \( \Delta(ABC) \), podemos comprobar usando el mismo método del área o comprobando si \( D \) está en el interior del triángulo. Calculamos el área del triángulo \( ABD \), \( BCD \) y \( ACD \) y sumamos: 1. Área de \( ABD \), 2. Área de \( BCD \), 3. Área de \( ACD \), Si la suma es igual al área de \( ABC \), entonces \( D \) está dentro. Así que por el método de áreas, si todos los triángulos suman el área de \( ABC \), \( D \) está dentro. Para los puntos \( A=\binom{-1}{6}, B=\binom{-4}{2} \) y \( C=\binom{3}{3} \): (a) Usamos la misma fórmula del determinante: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -1(2-3) + (-4)(3-6) + 3(6-2) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1(-1) + (-4)(-3) + 3(4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1 + 12 + 12 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5 \] Como el área es diferente de cero, no son colineales. (b) Para verificar que el triángulo \( \Delta ABC \) es isósceles, necesitamos calcular longitudes \( AB \), \( AC \) y \( BC \). \[ AB = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \] \[ AC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \] \[ BC = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \] Como \( AB = AC \), el triángulo \( \Delta ABC \) es isósceles. (c) Para encontrar la bisectriz del ángulo en \( A \), hallamos las pendientes de \( AB \) y \( AC \) y utilizamos la fórmula de la bisectriz. (d) La mediatriz del lado \( \overline{AB} \) es la recta perpendicular a \( AB \) en el punto medio de \( A \) y \( B \). Calculamos el punto medio y utilizamos la pendiente opuesta para encontrar la ecuación.