1. Considere los puntos del plano $$ A=\binom{-1}{3}, B=\binom{250}{4} $$ y $$ C=\binom{1004}{7} $$. (a) Verifique que $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales. (b) ¿Pertenece el punto $$ D=\binom{1002}{7} $$ al triángulo $$ \Delta(A B C) $$ ? Justifique la respuesta. 2. Considere los puntos del plano $$ A=\binom{-1}{6}, B=\binom{-4}{2} $$ y $$ C=\binom{3}{3} $$. (a) Verifique que los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales. (b) Verifique que el triángulo $$ \Delta(A B C) $$ es isósceles. (c) Halle una ecuación general de la bisectriz del ángulo con vértice $$ A $$. (d) Halle una ecuación general de la mediatriz del lado $$ \overline{A B} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver los problemas planteados, procederemos paso a paso.

### Problema 1

#### (a) Verifique que $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales.

Para verificar que los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales, podemos calcular el área del triángulo formado por estos puntos. Si el área es diferente de cero, los puntos no son colineales.

La fórmula para el área $$ A $$ de un triángulo dado por los puntos $$ A(x_1, y_1) $$, $$ B(x_2, y_2) $$ y $$ C(x_3, y_3) $$ es:

$$
A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$

Sustituyendo los puntos $$ A(-1, 3) $$, $$ B(250, 4) $$ y $$ C(1004, 7) $$:

$$
A = \frac{1}{2} \left| -1(4 - 7) + 250(7 - 3) + 1004(3 - 4) \right|
$$

Calculamos cada término:

1. $$ -1(4 - 7) = -1(-3) = 3 $$
2. $$ 250(7 - 3) = 250(4) = 1000 $$
3. $$ 1004(3 - 4) = 1004(-1) = -1004 $$

Ahora sumamos:

$$
A = \frac{1}{2} \left| 3 + 1000 - 1004 \right| = \frac{1}{2} \left| -1 \right| = \frac{1}{2}
$$

Dado que el área es diferente de cero, concluimos que los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales.

#### (b) ¿Pertenece el punto $$ D=\binom{1002}{7} $$ al triángulo $$ \Delta(A B C) $$?

Para determinar si el punto $$ D $$ pertenece al triángulo $$ \Delta(A B C) $$, podemos usar el mismo método del área. Calcularemos el área de los triángulos $$ \Delta ADB $$, $$ \Delta BDC $$ y $$ \Delta ADC $$ y compararemos la suma de estas áreas con el área del triángulo $$ \Delta ABC $$.

1. **Área de $$ \Delta ADB $$**:

$$
A_{ADB} = \frac{1}{2} \left| -1(4 - 7) + 250(7 - 3) + 1002(3 - 4) \right|
$$

Calculamos:

$$
A_{ADB} = \frac{1}{2} \left| 3 + 1000 - 1002 \right| = \frac{1}{2} \left| 1 \right| = \frac{1}{2}
$$

2. **Área de $$ \Delta BDC $$**:

$$
A_{BDC} = \frac{1}{2} \left| 250(7 - 7) + 1004(7 - 4) + 1002(4 - 7) \right|
$$

Calculamos:

$$
A_{BDC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 1004(3) - 1002(3) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 \right| = 3
$$

3. **Área de $$ \Delta ADC $$**:

$$
A_{ADC} = \frac{1}{2} \left| -1(7 - 3) + 1004(3 - 3) + 1002(3 - 7) \right|
$$

Calculamos:

$$
A_{ADC} = \frac{1}{2} \left| -1(4) + 0 - 1002(4) \right| = \frac{1}{2} \left| -4 - 4008 \right| = \frac{1}{2} \left| -4012 \right| = 2006
$$

Ahora sumamos las áreas de $$ \Delta ADB $$, $$ \Delta BDC $$ y $$ \Delta ADC $$:

$$
A_{ADB} + A_{BDC} + A_{ADC} = \frac{1}{2} + 3 + 2006 = 2009.5
$$

Dado que $$ A_{ABC} = \frac{1}{2} $$ y $$ A_{ADB} + A_{BDC} + A_{ADC} \neq A_{ABC} $$, el punto $$ D $$ no pertenece al triángulo $$ \Delta(A B C) $$.

### Problema 2

#### (a) Verifique que los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales.

Usamos la misma fórmula del área del triángulo:

$$
A = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 3) + (-4)(3 - 6) + 3(6 - 2) \right|
$$

Calculamos:

1. $$ -1(2 - 3) = -1(-1) = 1 $$
2. $$ -4(3 - 6) = -4(-3) = 12 $$
3. $$ 3(6 - 2) = 3(4) = 12 $$

Sumamos:

$$
A = \frac{1}{2} \left| 1 + 12 + 12 \right| = \frac{1}{2} \left| 25 \right| = 12.5
$$

Dado que el área es diferente de cero, los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales.

#### (b) Verifique que el triángulo $$ \Delta(A B C) $$ es isósceles.

Calculamos las distancias entre los puntos:

1. $$ AB = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
2. $$ AC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$
3. $$ BC = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (2
### Problema 1 #### (a) Los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales. Para verificar que los puntos no son colineales, calculamos el área del triángulo formado por ellos. Si el área es diferente de cero, los puntos no están en línea recta. #### (b) El punto $$ D $$ no pertenece al triángulo $$ \Delta(A B C) $$. Calculamos las áreas de los triángulos formados por $$ D $$ y los vértices $$ A, B $$ y $$ C $$. Si la suma de estas áreas no coincide con el área del triángulo $$ \Delta ABC $$, entonces $$ D $$ no está dentro del triángulo. ### Problema 2 #### (a) Los puntos $$ A, B $$ y $$ C $$ no son colineales. Calculamos el área del triángulo y comprobamos que es diferente de cero. #### (b) El triángulo $$ \Delta(A B C) $$ es isósceles. Calculamos las distancias entre los puntos y encontramos que dos lados son iguales. #### (c) Ecuación de la bisectriz del ángulo con vértice $$ A $$. Usamos la fórmula para la bisectriz de un ángulo y la ecuación general de la recta. #### (d) Ecuación de la mediatriz del lado $$ \overline{A B} $$. Calculamos la mediatriz del lado $$ \overline{A B} $$ y la representamos en forma general.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Problema 1

(a) Los puntos y no son colineales.

(b) El punto no pertenece al triángulo .

Problema 2

(a) Los puntos y no son colineales.

(b) El triángulo es isósceles.

© Ecuación de la bisectriz del ángulo con vértice .

(d) Ecuación de la mediatriz del lado .

Solución

Problema 1

(a) Verifique que y no son colineales.

(b) ¿Pertenece el punto al triángulo ?

Problema 2

(a) Verifique que los puntos y no son colineales.

(b) Verifique que el triángulo es isósceles.

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