$$ ( 3 an ^ { 2 } - 1 ) ( \sin x + 1 ) \geq 0 $$

Question

$$ ( 3 	an ^ { 2 } - 1 ) ( \sin x + 1 ) \geq 0 $$

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Per risolvere l'inequazione $$ (3 \tan^2 x - 1)(\sin x + 1) \geq 0 $$, dobbiamo analizzare i due fattori separatamente.

1. **Analisi del primo fattore: $$ 3 \tan^2 x - 1 $$**

L'inequazione $$ 3 \tan^2 x - 1 \geq 0 $$ si riscrive come:
   $$
   \tan^2 x \geq \frac{1}{3}
   $$
   Questo implica che:
   $$
   |\tan x| \geq \frac{1}{\sqrt{3}}
   $$
   La tangente è positiva nel primo e terzo quadrante e negativa nel secondo e quarto quadrante. Quindi, dobbiamo considerare i valori di $$ x $$ per cui $$ \tan x $$ è maggiore o uguale a $$ \frac{1}{\sqrt{3}} $$ o minore o uguale a $$ -\frac{1}{\sqrt{3}} $$.

Le soluzioni per $$ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ si trovano in:
   $$
   x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$
   e per $$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$:
   $$
   x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$

Quindi, le soluzioni per $$ 3 \tan^2 x - 1 \geq 0 $$ sono:
   $$
   x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + k\pi, \frac{11\pi}{6} + k\pi \right) \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$

2. **Analisi del secondo fattore: $$ \sin x + 1 $$**

L'inequazione $$ \sin x + 1 \geq 0 $$ è sempre vera, poiché $$ \sin x $$ varia tra -1 e 1. L'unico punto in cui $$ \sin x + 1 = 0 $$ è quando $$ \sin x = -1 $$, cioè:
   $$
   x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$

3. **Combinazione dei risultati**

Ora dobbiamo combinare i risultati ottenuti. L'inequazione $$ (3 \tan^2 x - 1)(\sin x + 1) \geq 0 $$ è soddisfatta quando almeno uno dei fattori è positivo o zero.

- $$ 3 \tan^2 x - 1 \geq 0 $$ è soddisfatta negli intervalli sopra indicati.
   - $$ \sin x + 1 $$ è zero in $$ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $$.

Dobbiamo escludere i punti in cui $$ \sin x + 1 = 0 $$ se non sono in un intervallo dove $$ 3 \tan^2 x - 1 $$ è positivo.

In conclusione, l'inequazione $$ (3 \tan^2 x - 1)(\sin x + 1) \geq 0 $$ è soddisfatta per:
$$
x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + k\pi, \frac{11\pi}{6} + k\pi \right) \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
escludendo i punti $$ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $$ dove $$ \sin x + 1 = 0 $$.
L'inequazione $$ (3 \tan^2 x - 1)(\sin x + 1) \geq 0 $$ è soddisfatta per: $$ x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + k\pi, \frac{11\pi}{6} + k\pi \right) \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ escludendo i punti $$ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $$ dove $$ \sin x + 1 = 0 $$.

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