$$ y = \sqrt { \frac { \ln ^ { 2 } x - 1 } { ( \ln x ^ { 2 } - 1 ) \ln ( x - 1 ) } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Ecco l'espressione fornita:

$$ y = \sqrt{ \frac{ \ln^{2} x - 1 }{ \left( \ln x^{2} - 1 \right) \ln (x - 1) } } $$

**Interpretazione in italiano:**

La funzione $$ y $$ è definita come la radice quadrata del rapporto tra $$\ln^{2}(x) - 1$$ e il prodotto di $$\ln(x^{2}) - 1$$ e $$\ln(x - 1)$$. Esplicitamente:

$$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^{2} - 1 }{ \left( \ln(x^{2}) - 1 \right) \cdot \ln(x - 1) } } $$

**Possibile semplificazione:**

Possiamo semplificare ulteriormente l'espressione utilizzando proprietà dei logaritmi. Sappiamo che:

$$
\ln(x^{2}) = 2 \ln(x)
$$

Sostituendo questa relazione nell'espressione originale:

$$
y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^{2} - 1 }{ \left( 2 \ln x - 1 \right) \cdot \ln(x - 1) } }
$$

Quindi, l'espressione semplificata diventa:

$$
y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^{2} - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln(x - 1) } }
$$

**Considerazioni aggiuntive:**

- **Dominio della funzione:** Perché l'espressione sia definita, è necessario che:
  - $$ x > 1 $$ (perché $$\ln(x - 1)$$ sia definito e reale).
  - $$ \ln(x^{2}) - 1 \neq 0 $$, ossia $$ \ln(x) \neq \frac{1}{2} $$.
  - Il denominatore $$ (2 \ln x - 1) \cdot \ln(x - 1) $$ non sia zero.
  - L'argomento della radice quadrata sia positivo.

- **Interpretazione grafica:** Analizzare la funzione richiederebbe di studiare il comportamento del rapporto all'interno della radice quadrata in funzione di $$ x $$, identificando eventuali asintoti, punti di massimo/minimo e intervalli di crescita o decrescita.

Spero che questa spiegazione ti sia utile!
Ecco l'espressione semplificata: $$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^{2} - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln(x - 1) } } $$ **Considerazioni:** - La funzione $$ y $$ è definita per $$ x > 1 $$ e per valori di $$ x $$ che non rendono zero il denominatore. - L'espressione può essere ulteriormente semplificata utilizzando proprietà dei logaritmi. - È importante considerare il dominio della funzione per assicurare che tutti i termini siano reali e definiti.

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