Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 10\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-6 x_{1}-9 x_{2}+2 x_{3}=36 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{ll}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}( \end{array} \) Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d \( =\square \)

Um die gegenseitige Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, setzen wir die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein. Die Parameterdarstellung der Geraden lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \] Setzen wir die Koordinaten der Geraden in die Gleichung der Ebene ein: \[ -6(-1) + -9(3t+2) + 2(2t+10) = 36 \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 6 - 27t - 18 + 4t + 20 = 36 \] \[ -23t + 8 = 36 \Rightarrow -23t = 28 \Rightarrow t = -\frac{28}{23} \] Da wir einen Wert für \( t \) gefunden haben, bedeutet dies, dass die Gerade die Ebene schneidet. Wir können nun den Durchstoßpunkt \( D \) berechnen, indem wir den gefundenen Wert von \( t \) in die Geradengleichung einsetzen. \[ D = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} + \left(-\frac{28}{23}\right) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{28}{23} \\ 2 - \frac{84}{23} \\ 10 - \frac{56}{23} \end{pmatrix} \] Um die Werte zu vereinfachen, können wir den Bruch auf einem gemeinsamen Nenner halten und uns einen numerischen Wert für den Durchstoßpunkt ausrechnen. Betrachten wir nun die Situation, wenn die Gerade parallel zur Ebene wäre. In diesem Fall wäre der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene konstant, und die Richtungsvektoren der Geraden und der Normalen der Ebene wären zueinander orthogonal. Den Abstand können wir mit der Formel für den Abstand einer Punkt zu einer Ebene berechnen, wobei wir den Punkt wählen, der auf der Geraden liegt, und die Normalenform der Ebene verwenden. Jetzt haben wir den Durchstoßpunkt \( D \) und wissen, dass \( \mathrm{g} \) die Ebene schneidet, was wirklich interessant ist, oder?