h) $$ \sec ^{2} x=\operatorname{sen} x \csc x+\operatorname{sen} x\left(\operatorname{sen} x \sec ^{2} x\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a verificar la ecuación dada:

$$ \sec^{2} x = \sen x \csc x + \sen x \left( \sen x \sec^{2} x \right) $$

Primero, recordemos las definiciones de las funciones trigonométricas:

1. $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$
2. $$\csc x = \frac{1}{\sen x}$$

Sustituyendo estas definiciones en la ecuación:

$$ \sec^{2} x = \sen x \cdot \frac{1}{\sen x} + \sen x \left( \sen x \cdot \sec^{2} x \right) $$

Simplificamos términos:

1. $$\sen x \cdot \frac{1}{\sen x} = 1$$

2. $$\sen x \cdot (\sen x \cdot \sec^{2} x) = \sen^{2} x \cdot \sec^{2} x$$

Ahora, la ecuación se simplifica a:

$$ \sec^{2} x = 1 + \sen^{2} x \cdot \sec^{2} x $$

Para resolver esta ecuación, agrupamos los términos que contienen $$\sec^{2} x$$:

$$ \sec^{2} x - \sen^{2} x \cdot \sec^{2} x = 1 $$

Factorizamos $$\sec^{2} x$$:

$$ \sec^{2} x (1 - \sen^{2} x) = 1 $$

Sabemos que $$1 - \sen^{2} x = \cos^{2} x$$ (identidad pitagórica). Sustituyendo:

$$ \sec^{2} x \cdot \cos^{2} x = 1 $$

Dado que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$, entonces:

$$ \left( \frac{1}{\cos^{2} x} \right) \cdot \cos^{2} x = 1 $$

Simplificando:

$$ 1 = 1 $$

Por lo tanto, la igualdad es una **identidad trigonométrica válida** para todos los valores de $$x$$ en los que $$\cos x \neq 0$$.

**Conclusión:** La ecuación $$\sec^{2} x = \sen x \csc x + \sen x (\sen x \sec^{2} x)$$ es siempre verdadera siempre que $$\cos x$$ no sea cero.

**Respuesta Final:**
Después de simplificar, ambos lados son iguales siempre que cos x ≠ 0. Por tanto, la igualdad es válida para todo x donde cos x no es cero.
The equation $$\sec^{2} x = \sen x \csc x + \sen x (\sen x \sec^{2} x)$$ simplifies to an identity that is always true for all $$x$$ where $$\cos x \neq 0$$.

h) \( \sec ^{2} x=\operatorname{sen} x \csc x+\operatorname{sen} x\left(\operatorname{sen} x \sec ^{2} x\right) \)

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