106. В треугольнике $$ A B C $$ проведены медианы $$ A D, B E $$ и $$ C F $$. Длины отрезков $$ A F, A E $$ и $$ B D $$ соответственно равны 3 cm , 5 cM и 6 cm . Чему равен периметр треугольника $$ A B C $$ ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения задачи о периметре треугольника $$ ABC $$ с медианами $$ AD, BE $$ и $$ CF $$, воспользуемся свойствами медиан и известными длинами отрезков.

1. Обозначим длины сторон треугольника $$ ABC $$:
   - $$ a = BC $$
   - $$ b = AC $$
   - $$ c = AB $$

2. Известные длины отрезков:
   - $$ AF = 3 $$ cm
   - $$ AE = 5 $$ cm
   - $$ BD = 6 $$ cm

3. Поскольку $$ D, E, F $$ - это точки пересечения медиан, то:
   - $$ AD = \frac{2}{3} \cdot AF $$
   - $$ BE = \frac{2}{3} \cdot AE $$
   - $$ CF = \frac{2}{3} \cdot BD $$

4. Теперь найдем длины медиан:
   - $$ AD = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 $$ cm
   - $$ BE = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} $$ cm
   - $$ CF = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 $$ cm

5. Используем формулу для периметра треугольника через длины медиан:
   $$
   P = \frac{4}{3} \cdot (m_a + m_b + m_c)
   $$
   где $$ m_a, m_b, m_c $$ - длины медиан $$ AD, BE, CF $$.

6. Подставим найденные значения медиан:
   $$
   P = \frac{4}{3} \cdot \left(2 + \frac{10}{3} + 4\right)
   $$

7. Приведем к общему знаменателю:
   $$
   P = \frac{4}{3} \cdot \left(2 + 4 + \frac{10}{3}\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{6}{3} + \frac{12}{3} + \frac{10}{3}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{28}{3}
   $$

8. Упростим:
   $$
   P = \frac{4 \cdot 28}{9} = \frac{112}{9} \text{ cm}
   $$

Таким образом, периметр треугольника $$ ABC $$ равен $$ \frac{112}{9} $$ см или примерно $$ 12.44 $$ см.
Периметр треугольника $$ ABC $$ равен $$ \frac{112}{9} $$ см, что примерно равно $$ 12.44 $$ см.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions