Soit $$ A B C $$ un triangle. Eet $$ F $$ deux points tel que: $$ \overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{A C} \quad $$ et $$ \overrightarrow{C F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} $$ 1) Construire les points $$ E $$ et $$ F $$. 2) Montrer que : $$ \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C} \quad $$ et $$ \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**1) Construction des points $$ E $$ et $$ F $$**

Pour construire les points $$ E $$ et $$ F $$ dans le triangle $$ ABC $$, nous procédons comme suit :

- **Construction de $$ E $$ :**

On sait que $$ \overrightarrow{B E} = 2 \overrightarrow{A C} $$. Cela signifie que le point $$ E $$ est placé de telle sorte que le vecteur allant de $$ B $$ à $$ E $$ est deux fois le vecteur $$ \overrightarrow{AC} $$.

1. Tracer le vecteur $$ \overrightarrow{AC} $$.
  2. Étendre ce vecteur de deux fois sa longueur à partir de $$ B $$.
  3. Placer $$ E $$ à l'extrémité de ce vecteur.

Ainsi, le point $$ E $$ se trouve sur la droite passant par $$ B $$ dans la direction de $$ C $$, à une distance double de celle de $$ C $$ par rapport à $$ B $$.

- **Construction de $$ F $$ :**

On sait que $$ \overrightarrow{C F} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} $$. Cela signifie que le point $$ F $$ est placé de telle sorte que le vecteur allant de $$ C $$ à $$ F $$ est la moitié du vecteur $$ \overrightarrow{AB} $$.

1. Tracer le vecteur $$ \overrightarrow{AB} $$.
  2. Réduire ce vecteur de moitié.
  3. Placer $$ F $$ à partir de $$ C $$ selon cette direction et cette longueur réduite.

Ainsi, le point $$ F $$ se trouve sur la droite passant par $$ C $$ vers $$ B $$, à une distance égale à la moitié de $$ AB $$.

**2) Montrer que :**
$$ \overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A B} + 2\,\overrightarrow{A C} $$
et
$$ \overrightarrow{A F} = \frac{1}{2}\, \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} $$

**Démonstration :**

- **Pour $$ \overrightarrow{A E} $$ :**

Nous avons :
  $$
  \overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B E}
  $$
  Or, d'après l'énoncé :
  $$
  \overrightarrow{B E} = 2\,\overrightarrow{A C}
  $$
  Donc :
  $$
  \overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A B} + 2\,\overrightarrow{A C}
  $$
  Ce qui démontre la première égalité.

- **Pour $$ \overrightarrow{A F} $$ :**

Nous avons :
  $$
  \overrightarrow{A F} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C F}
  $$
  Or, d'après l'énoncé :
  $$
  \overrightarrow{C F} = \frac{1}{2}\, \overrightarrow{A B}
  $$
  Donc :
  $$
  \overrightarrow{A F} = \overrightarrow{A C} + \frac{1}{2}\, \overrightarrow{A B} = \frac{1}{2}\, \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}
  $$
  Ce qui démontre la seconde égalité.

Ainsi, les deux relations sont vérifiées.
**1) Construction des points $$ E $$ et $$ F $$** - **Point $$ E $$**: - Tracer le vecteur $$ \overrightarrow{AC} $$. - Étendre ce vecteur de deux fois sa longueur à partir de $$ B $$. - Placer $$ E $$ à l'extrémité de ce vecteur. - **Point $$ F $$**: - Tracer le vecteur $$ \overrightarrow{AB} $$. - Réduire ce vecteur de moitié. - Placer $$ F $$ à partir de $$ C $$ selon cette direction et cette longueur réduite. **2) Démonstration des vecteurs :** - **Pour $$ \overrightarrow{A E} $$**: $$ \overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A B} + 2\,\overrightarrow{A C} $$ - **Pour $$ \overrightarrow{A F} $$**: $$ \overrightarrow{A F} = \frac{1}{2}\, \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} $$ Ainsi, les deux relations sont prouvées.

Soit un triangle. Eet deux points tel
que: et

Construire les points et .

Montrer que :
et

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

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Soit un triangle. Eet deux points tel que: et Construire les points et . Montrer que : et