¿Cuál es el valor de $$ \log _{3} 0, \overline{1} $$ ?

Question

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Para resolver $$ \log_{3} 0,\overline{1} $$, primero interpretamos el número $$ 0,\overline{1} $$ como una fracción.

1. **Convertir $$ 0,\overline{1} $$ a fracción:**
   
   $$ 0,\overline{1} = 0.1111\ldots $$

Sabemos que:
   
   $$
   0.1111\ldots = \frac{1}{9}
   $$
   
2. **Calcular $$ \log_{3} \left( \frac{1}{9} \right) $$:**
   
   Reconocemos que $$ 9 = 3^2 $$, por lo tanto:
   
   $$
   \frac{1}{9} = 3^{-2}
   $$
   
   Entonces:
   
   $$
   \log_{3} \left( \frac{1}{9} \right) = \log_{3} \left( 3^{-2} \right) = -2
   $$
   
**Respuesta:** El valor de $$ \log_{3} 0,\overline{1} $$ es $$-2$$.
El valor de $$ \log_{3} 0,\overline{1} $$ es $$-2$$.

¿Cuál es el valor de \( \log _{3} 0, \overline{1} \) ?

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