Baрнант 1: 1. Найти $$ y $$ : $$ \begin{array}{ll} ext { a) } y=\sqrt[4]{x^{2}+3 x} ; & ext { б) } y=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}} ;\end{array} $$ в) $$ y=\operatorname{arctg} \sqrt{x}-\sqrt{x} ; $$ г) $$ \left\{\begin{array}{l}x=a t \ (y=a t \ ext { 2. Найти } y^{\prime \prime} ext {, если } y=\sin ^{2} 2 x\end{array} ight. $$

Question

Baрнант 1: 1. Найти $$ y $$ : $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } y=\sqrt[4]{x^{2}+3 x} ; & 	ext { б) } y=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}} ;\end{array} $$ в) $$ y=\operatorname{arctg} \sqrt{x}-\sqrt{x} ; $$ г) $$ \left\{\begin{array}{l}x=a t \ (y=a t \ 	ext { 2. Найти } y^{\prime \prime} 	ext {, если } y=\sin ^{2} 2 x\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Bien sûr, je vais résoudre les problèmes demandés en français.

### Exercice 1 : Trouver $$ y $$

#### a) $$ y = \sqrt[4]{x^{2} + 3x} $$

**Calcul de la dérivée $$ y' $$ :**

$$ y = (x^{2} + 3x)^{\frac{1}{4}} $$

$$ y' = \frac{1}{4} (x^{2} + 3x)^{-\frac{3}{4}} \cdot (2x + 3) $$

$$ y' = \frac{2x + 3}{4 (x^{2} + 3x)^{\frac{3}{4}}} $$

#### b) $$ y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} $$

**Calcul de la dérivée $$ y' $$ :**

Utilisons la règle de dérivation d'un quotient $$\left( \frac{u}{v} \right)'$$:

$$ u = 1 + e^{x} \Rightarrow u' = e^{x} $$
$$ v = 1 - e^{x} \Rightarrow v' = -e^{x} $$

$$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} = \frac{e^{x}(1 - e^{x}) - (1 + e^{x})(-e^{x})}{(1 - e^{x})^{2}} $$

Simplifions le numérateur :

$$ e^{x} - e^{2x} + e^{x} + e^{2x} = 2e^{x} $$

Donc,

$$ y' = \frac{2e^{x}}{(1 - e^{x})^{2}} $$

#### c) $$ y = \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} $$

**Calcul de la dérivée $$ y' $$ :**

$$ y = \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} $$

Dérivons terme par terme :

1. Dérivée de $$ \arctan(\sqrt{x}) $$ :

$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sqrt{x}) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} $$

2. Dérivée de $$ \sqrt{x} $$ :

$$ \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Donc,

$$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - (1 + x)}{2\sqrt{x}(1 + x)} = \frac{-x}{2\sqrt{x}(1 + x)} = -\frac{\sqrt{x}}{2(1 + x)} $$

#### d) Système d'équations :

$$ \begin{cases}
x = a t \
y = a t
\end{cases} $$

**Interprétation et calcul des dérivées :**

Dans ce système, $$ x $$ et $$ y $$ sont tous deux égaux à $$ a t $$, où $$ a $$ est une constante et $$ t $$ est le paramètre.

1. Calcul de $$ \frac{dy}{dx} $$ :

Puisque $$ y = x $$, alors:

$$ \frac{dy}{dx} = 1 $$

2. Calcul des dérivées secondes :

Puisque $$ \frac{dy}{dx} $$ est une constante,

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0 $$

### Exercice 2 : Trouver la seconde dérivée $$ y'' $$ de $$ y = \sin^{2}(2x) $$

**Calcul des dérivées :**

$$ y = \sin^{2}(2x) $$

Utilisons la règle de la chaîne et la dérivation des fonctions composées.

1. Première dérivée $$ y' $$ :

$$ y' = 2 \sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 4 \sin(2x) \cos(2x) $$

Nous pouvons simplifier en utilisant l'identité $$ 2 \sin A \cos A = \sin(2A) $$ :

$$ y' = 2 \sin(4x) $$

2. Seconde dérivée $$ y'' $$ :

$$ y'' = 2 \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 8 \cos(4x) $$

### Résumé des réponses :

1. a) La dérivée de $$ y = \sqrt[4]{x^{2} + 3x} $$ est :

$$ y' = \frac{2x + 3}{4 (x^{2} + 3x)^{\frac{3}{4}}} $$

b) La dérivée de $$ y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} $$ est :

$$ y' = \frac{2e^{x}}{(1 - e^{x})^{2}} $$

c) La dérivée de $$ y = \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} $$ est :

$$ y' = -\frac{\sqrt{x}}{2(1 + x)} $$

d) Pour le système $$ x = a t $$, $$ y = a t $$ :

$$ \frac{dy}{dx} = 1 \quad \text{et} \quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0 $$

2. La seconde dérivée de $$ y = \sin^{2}(2x) $$ est :

$$ y'' = 8 \cos(4x) $$
Voici la simplification des réponses : 1. **Exercice 1 : Trouver $$ y $$** - **a)** $$ y' = \frac{2x + 3}{4 (x^{2} + 3x)^{3/4}} $$ - **b)** $$ y' = \frac{2e^{x}}{(1 - e^{x})^{2}} $$ - **c)** $$ y' = -\frac{\sqrt{x}}{2(1 + x)} $$ - **d)** $$ \frac{dy}{dx} = 1 $$ et $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0 $$ 2. **Exercice 2 : Trouver $$ y'' $$ pour $$ y = \sin^{2}(2x) $$** $$ y'' = 8 \cos(4x) $$

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