Dada la función \( f(x)=x^{2} e^{x^{2}-1} \), escribe la ecuación de su recta tangenteen el puntode abscisa \( x_{0}=-1 \). Escribe también la ecuación de la recta normal en dicho punto

Para la función \( f(x) = x^{2} e^{x^{2}-1} \) y el punto de abscisa \( x_{0} = -1 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Calcular el valor de la función en \( x_{0} = -1 \):** \[ f(-1) = (-1)^{2} e^{(-1)^{2}-1} = 1 \cdot e^{0} = 1 \] Por lo tanto, el punto de tangencia es \( (-1, 1) \). 2. **Calcular la derivada de \( f(x) \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{2} e^{x^{2}-1} \right) = 2x e^{x^{2}-1} + x^{2} e^{x^{2}-1} \cdot 2x = 2x (1 + x^{2}) e^{x^{2}-1} \] Evaluando la derivada en \( x_{0} = -1 \): \[ f'(-1) = 2(-1)(1 + (-1)^{2}) e^{0} = -4 \] Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es \( m_{\text{tangente}} = -4 \). 3. **Ecuación de la recta tangente:** Utilizando la forma punto-pendiente: \[ y - y_{0} = m_{\text{tangente}} (x - x_{0}) \] Sustituyendo los valores: \[ y - 1 = -4 (x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = -4x - 3 \] 4. **Ecuación de la recta normal:** La pendiente de la recta normal es el inverso negativo de la pendiente de la tangente: \[ m_{\text{normal}} = \frac{1}{4} \] Utilizando nuevamente la forma punto-pendiente: \[ y - 1 = \frac{1}{4} (x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \] **Resumen:** - **Recta tangente en \( x = -1 \):** \[ y = -4x - 3 \] - **Recta normal en \( x = -1 \):** \[ y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \]