Problema 1 coeficientes constantes: $$ 2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0 \quad y= $$

Question

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Para resolver la ecuación diferencial de coeficientes constantes

$$
2y'' - 3y' + 4y = 0
$$

primero se plantea la ecuación característica asociada:

$$
2r^2 - 3r + 4 = 0
$$

Utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

$$
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

se identifican los coeficientes: $$a = 2$$, $$b = -3$$ y $$c = 4$$. Sustituyendo estos valores:

$$
r = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot2\cdot4}}{2\cdot2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4}.
$$

Dado que el discriminante es negativo, se obtienen raíces complejas:

$$
r = \frac{3}{4} \pm i\frac{\sqrt{23}}{4}.
$$

La solución general de la ecuación diferencial, en el caso de raíces complejas $$r = \alpha \pm i\beta$$, es

$$
y(x) = e^{\alpha x} \left[ C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right],
$$

donde $$C_1$$ y $$C_2$$ son constantes arbitrarias. En nuestro caso, $$\alpha = \frac{3}{4}$$ y $$\beta = \frac{\sqrt{23}}{4}$$.

Por lo tanto, la solución general es:

$$
y(x) = e^{\frac{3}{4}x} \left[ C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{4}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{4}x\right) \right].
$$
La solución general de la ecuación diferencial $$2y'' - 3y' + 4y = 0$$ es: $$ y(x) = e^{\frac{3}{4}x} \left[ C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{4}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{4}x\right) \right], $$ donde $$C_1$$ y $$C_2$$ son constantes arbitrarias.

Problema 1
coeficientes constantes:

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