En cierta ciudad, la población en cualquier tiempo cambia a una razón proporcional a la
población existente. En 1985 había 40,000 habitantes y en 1995 habia 48,000 . Una
ecuación para la población en el tiempo , donde es el número de años contados a partir
de 1985 es:

Question

En cierta ciudad, la población en cualquier tiempo cambia a una razón proporcional a la
población existente. En 1985 había 40,000 habitantes y en 1995 habia 48,000 . Una
ecuación para la población en el tiempo

, donde

es el número de años contados a partir
de 1985 es:

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La situación descrita se puede modelar mediante una ecuación diferencial que representa el crecimiento exponencial de la población. La ecuación general para el crecimiento poblacional es:

$$
\frac{dP}{dt} = kP
$$

donde $$ P $$ es la población, $$ t $$ es el tiempo en años, y $$ k $$ es la constante de proporcionalidad.

Para resolver esta ecuación, podemos separarla y luego integrar:

$$
\frac{dP}{P} = k \, dt
$$

Integrando ambos lados, obtenemos:

$$
\ln(P) = kt + C
$$

Donde $$ C $$ es la constante de integración. Exponenciando ambos lados, tenemos:

$$
P = e^{kt + C} = e^C e^{kt}
$$

Definimos $$ P_0 = e^C $$, así que la ecuación se convierte en:

$$
P(t) = P_0 e^{kt}
$$

Ahora, necesitamos determinar $$ P_0 $$ y $$ k $$ usando los datos proporcionados. Sabemos que:

- En 1985 ($$ t = 0 $$), $$ P(0) = 40000 $$
- En 1995 ($$ t = 10 $$), $$ P(10) = 48000 $$

Usando el primer dato:

$$
P(0) = P_0 e^{k \cdot 0} = P_0 = 40000
$$

Ahora, usando el segundo dato:

$$
P(10) = 40000 e^{10k} = 48000
$$

Dividiendo ambos lados por 40000:

$$
e^{10k} = \frac{48000}{40000} = 1.2
$$

Tomando el logaritmo natural:

$$
10k = \ln(1.2)
$$

Por lo tanto:

$$
k = \frac{\ln(1.2)}{10}
$$

Ahora podemos escribir la ecuación de la población en función del tiempo $$ t $$:

$$
P(t) = 40000 e^{\left(\frac{\ln(1.2)}{10}\right)t}
$$

Esta es la ecuación que describe la población en función del tiempo $$ t $$, donde $$ t $$ es el número de años contados a partir de 1985.
La ecuación que describe la población en función del tiempo $$ t $$ es: $$ P(t) = 40000 e^{\left(\frac{\ln(1.2)}{10}\right)t} $$

En cierta ciudad, la población en cualquier tiempo cambia a una razón proporcional a la
población existente. En 1985 había 40,000 habitantes y en 1995 habia 48,000 . Una
ecuación para la población en el tiempo , donde es el número de años contados a partir
de 1985 es:

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población existente. En 1985 había 40,000 habitantes y en 1995 habia 48,000 . Una
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de 1985 es: