$$ y=\frac{e^{4 x} \cdot \cos ^{3} \cdot \operatorname{tg} x}{5^{7 x}} $$ haz la derivada

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$$
y = \frac{e^{4x}\cos^3 x\,\tan x}{5^{7x}} = e^{4x}\cos^3 x\,\tan x\cdot 5^{-7x}.
$$
Para obtener $$ y' $$ usaremos la regla del producto para los cuatro factores:
$$
f(x) = e^{4x},\quad g(x) = \cos^3 x,\quad h(x) = \tan x,\quad k(x)=5^{-7x}.
$$

1. Derivamos cada función:

- Para $$ f(x)=e^{4x} $$:
$$
f'(x)=4e^{4x}.
$$

- Para $$ g(x)=\cos^3 x $$ (recordando que es $$(\cos x)^3$$):
$$
g'(x)=3\cos^2 x\cdot(-\sin x)=-3\cos^2 x\,\sin x.
$$

- Para $$ h(x)=\tan x $$:
$$
h'(x)=\sec^2 x.
$$

- Para $$ k(x)=5^{-7x} $$, escribiéndolo como $$ e^{-7x\ln 5} $$:
$$
k'(x)=-7\ln 5\cdot5^{-7x}.
$$

2. Utilizando la regla del producto para cuatro factores, tenemos:
$$
y' = f'(x)g(x)h(x)k(x) + f(x)g'(x)h(x)k(x) + f(x)g(x)h'(x)k(x) + f(x)g(x)h(x)k'(x).
$$

Sustituyendo cada término:
$$
\begin{aligned}
y' =\; &4e^{4x}\cos^3 x\,\tan x\cdot 5^{-7x} \
&+ e^{4x}\Bigl(-3\cos^2 x\,\sin x\Bigr)\tan x\cdot 5^{-7x} \
&+ e^{4x}\cos^3 x\,\sec^2 x\cdot 5^{-7x} \
&+ e^{4x}\cos^3 x\,\tan x\Bigl(-7\ln 5\cdot5^{-7x}\Bigr).
\end{aligned}
$$

3. Factorizando el factor común $$ e^{4x}5^{-7x} $$:
$$
y' = e^{4x}5^{-7x}\left[ 4\cos^3 x\,\tan x - 3\cos^2 x\,\sin x\,\tan x + \cos^3 x\,\sec^2 x - 7\ln5\,\cos^3 x\,\tan x \right].
$$

4. Simplificamos algunos términos utilizando las identidades:
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\quad \text{y}\quad \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.
$$

- El término $$4\cos^3 x\,\tan x$$ se simplifica a:
$$
4\cos^3 x\,\frac{\sin x}{\cos x}=4\cos^2 x\,\sin x.
$$

- El término $$-3\cos^2 x\,\sin x\,\tan x$$ se simplifica a:
$$
-3\cos^2 x\,\sin x\,\frac{\sin x}{\cos x}=-3\cos x\,\sin^2 x.
$$

- El término $$\cos^3 x\,\sec^2 x$$ se simplifica a:
$$
\cos^3 x\,\frac{1}{\cos^2 x}=\cos x.
$$

- El término $$-7\ln5\,\cos^3 x\,\tan x$$ se simplifica a:
$$
-7\ln5\,\cos^3 x\,\frac{\sin x}{\cos x}=-7\ln5\,\cos^2 x\,\sin x.
$$

Por lo que la derivada queda:
$$
y' = e^{4x}5^{-7x}\left[ \left(4\cos^2 x\,\sin x -7\ln5\,\cos^2 x\,\sin x\right) +\cos x -3\cos x\,\sin^2 x \right].
$$

5. Factorizamos $$\cos x$$ en los términos donde sea posible:
$$
\begin{aligned}
y' &= e^{4x}5^{-7x}\Bigl[ \cos^2 x\,\sin x\,(4-7\ln5) +\cos x\,(1-3\sin^2 x) \Bigr] \
&= e^{4x}5^{-7x}\cos x\left[ (4-7\ln5)\cos x\,\sin x + 1-3\sin^2 x \right].
\end{aligned}
$$

La derivada final es:
$$
\boxed{y' = e^{4x}5^{-7x}\cos x\left[ (4-7\ln5)\cos x\,\sin x + 1-3\sin^2 x \right]}.
$$
La derivada de $$ y = \frac{e^{4x} \cos^3 x \tan x}{5^{7x}} $$ es: $$ y' = e^{4x}5^{-7x}\cos x\left[ (4-7\ln5)\cos x\,\sin x + 1-3\sin^2 x \right]. $$

haz la derivada

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