Un poligono è formato da un quadrato e da un triangolo isoscele avente la base coincidente con uno dei lati del quadrato. Sapendo che l'area del poligono è \( 8112 \mathrm{~cm}^{2} \) e che la base del triangolo misura 78 cm, calcola la misura dell'altezza complessiva del poligono considerata a partire dal vertice del triangolo.

Per calcolare l'altezza complessiva del poligono, dobbiamo prima determinare l'area del triangolo isoscele e quella del quadrato. L'area di un triangolo si calcola con la formula: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza} \] Dalla figura, sappiamo che la base del triangolo è 78 cm. Indichiamo l'altezza del triangolo come \( h_t \). Quindi l'area del triangolo è: \[ \text{Area}_{\text{triangolo}} = \frac{1}{2} \times 78 \times h_t = 39 h_t \] Sappiamo che l'area totale del poligono è 8112 cm², quindi possiamo scrivere: \[ \text{Area}_{\text{quadrato}} + 39 h_t = 8112 \] Indichiamo il lato del quadrato come \( l \), quindi l'area del quadrato è: \[ \text{Area}_{\text{quadrato}} = l^2 \] Ora sappiamo che la base del triangolo coincide con un lato del quadrato, quindi: \[ l = 78 \text{ cm} \] Quindi, l'area del quadrato sarà: \[ \text{Area}_{\text{quadrato}} = 78^2 = 6084 \text{ cm}^2 \] Ora possiamo inserire il valore dell'area del quadrato nella nostra equazione: \[ 6084 + 39 h_t = 8112 \] Risolvendo per \( h_t \): \[ 39 h_t = 8112 - 6084 \] \[ 39 h_t = 2028 \] \[ h_t = \frac{2028}{39} \approx 52 \text{ cm} \] Adesso, per calcolare l'altezza complessiva del poligono, dobbiamo aggiungere l'altezza del quadrato, che è pari al suo lato, quindi: \[ \text{Altezza complessiva} = h_t + l = 52 \text{ cm} + 78 \text{ cm} = 130 \text{ cm} \] Quindi, l'altezza complessiva del poligono è \( 130 \text{ cm} \).