16 Soit la fonction $$ f $$ définie de $$ \mathbb{R} $$ $$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+12 $$. 1. Détermine l'ensemble de dériv 2. Calcule la fonction dérivée $$ f^{\prime} \mathrm{d} $$ 3. Étudie le signe de $$ f^{\prime} $$ 'suivant les 4. Déduis en le sens de variation intervalles suivants : ] $$ -\infty ;-1[ $$,

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Solve the equation by following steps: - step0: Solve for $$x$$: $$x^{3}-3x^{2}-9x+12=0$$ - step1: Calculate: $$\begin{align}&x\approx -2.50504\&x\approx 1.083382\&x\approx 4.421658\end{align}$$ - step2: Rewrite: $$x_{1}\approx -2.50504,x_{2}\approx 1.083382,x_{3}\approx 4.421658$$ Il semble qu'il y ait un problème avec le calcul de la dérivée et la résolution de l'équation. Cependant, je vais procéder étape par étape pour résoudre le problème. ### 1. Déterminer l'ensemble de dérivabilité La fonction $$ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 12 $$ est un polynôme. Les polynômes sont dérivables sur tout $$ \mathbb{R} $$. Donc, l'ensemble de dérivabilité est $$ \mathbb{R} $$. ### 2. Calculer la fonction dérivée $$ f' $$ Pour calculer la dérivée de $$ f(x) $$, nous appliquons les règles de dérivation : $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(3x^{2}) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(12) $$ Calculons chaque terme : - La dérivée de $$ x^{3} $$ est $$ 3x^{2} $$. - La dérivée de $$ -3x^{2} $$ est $$ -6x $$. - La dérivée de $$ -9x $$ est $$ -9 $$. - La dérivée de $$ 12 $$ est $$ 0 $$. Donc, la dérivée est : $$ f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 $$ ### 3. Étudier le signe de $$ f' $$ Pour étudier le signe de $$ f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 $$, nous devons résoudre l'équation $$ f'(x) = 0 $$. $$ 3x^{2} - 6x - 9 = 0 $$ Divisons par 3 : $$ x^{2} - 2x - 3 = 0 $$ Nous allons résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique : $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $$ où $$ a = 1 $$, $$ b = -2 $$, et $$ c = -3 $$. Calculons le discriminant : $$ D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ Les racines sont : $$ x = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Cela nous donne : $$ x_{1} = 3 \quad \text{et} \quad x_{2} = -1 $$ ### 4. Déduire le sens de variation Nous avons les points critiques $$ x = -1 $$ et $$ x = 3 $$. Nous allons étudier le signe de $$ f' $$ sur les intervalles $$ ]-\infty, -1[ $$, $$ ]-1, 3[ $$, et $$ ]3, +\infty[ $$. - Pour $$ x < -1 $$ (par exemple, $$ x = -2 $$): $$ f'(-2) = 3(-2)^{2} - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 $$ Donc, $$ f' > 0 $$ sur $$ ]-\infty, -1[ $$. - Pour $$ -1 < x < 3 $$ (par exemple, $$ x = 0 $$): $$ f'(0) = 3(0)^{2} - 6(0) - 9 = -9 < 0 $$ Donc, $$ f' < 0 $$ sur $$ ]-1, 3[ $$. - Pour $$ x > 3 $$ (par exemple, $$ x = 4 $$): $$ f'(4) = 3(4)^{2} - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 $$ Donc, $$ f' > 0 $$ sur $$ ]3, +\infty[ $$. ### Conclusion - $$ f $$ est croissante sur $$ ]-\infty, -1[ $$ - $$ f $$ est décroissante sur $$ ]-1, 3[ $$ - $$ f $$ est croissante sur $$ ]3, +\infty[ $$ Les variations de la fonction $$ f $$ sont donc déterminées par ces intervalles. La fonction $$ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 12 $$ est dérivable sur tout $$ \mathbb{R} $$. Sa dérivée est $$ f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 $$. Les points où la dérivée change de signe sont $$ x = -1 $$ et $$ x = 3 $$. - Sur $$ ]-\infty, -1[ $$, $$ f' > 0 $$ donc $$ f $$ est croissante. - Sur $$ ]-1, 3[ $$, $$ f' < 0 $$ donc $$ f $$ est décroissante. - Sur $$ ]3, +\infty[ $$, $$ f' > 0 $$ donc $$ f $$ est croissante. Donc, la fonction $$ f $$ est croissante avant $$ x = -1 $$ et après $$ x = 3 $$, et décroissante entre $$ x = -1 $$ et $$ x = 3 $$.

16 Soit la fonction définie de
.

Détermine l’ensemble de dériv

Calcule la fonction dérivée

Étudie le signe de 'suivant les

Déduis en le sens de variation
intervalles suivants : ] ,

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Solución

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16 Soit la fonction définie de . Détermine l’ensemble de dériv Calcule la fonction dérivée Étudie le signe de 'suivant les Déduis en le sens de variation intervalles suivants : ] ,