le degré du produit des polynômes \( P \) et \( Q \) : a) \( P(x)=-5 x^{3}+6 x^{2}+2 \) et \( Q(x)=\frac{7}{3} x^{2}-2 x+3 \); b) \( P(x)=(2 x+3)\left(x^{2}-1\right) \) et \( Q(x)=2 x^{2}-7 x+12 \); c) \( P(x)=x\left(x^{2}-3\right)^{2018} \) et \( Q(x)=(2 x+1)^{3}-8 x^{3}+3 x-1 \)

Pour déterminer le degré du produit des polynômes \( P \) et \( Q \), nous devons d'abord identifier le degré de chaque polynôme individuellement. Le degré d'un polynôme est le plus grand exposant de \( x \) dans ce polynôme. Le degré du produit de deux polynômes est la somme de leurs degrés. ### a) \( P(x)=-5 x^{3}+6 x^{2}+2 \) et \( Q(x)=\frac{7}{3} x^{2}-2 x+3 \) 1. **Calculons le degré de \( P(x) \)** : - Le terme de plus haut degré est \( -5 x^{3} \). - Donc, \( \deg(P) = 3 \). 2. **Calculons le degré de \( Q(x) \)** : - Le terme de plus haut degré est \( \frac{7}{3} x^{2} \). - Donc, \( \deg(Q) = 2 \). 3. **Calculons le degré du produit \( P(x) \cdot Q(x) \)** : \[ \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) = 3 + 2 = 5 \] ### b) \( P(x)=(2 x+3)(x^{2}-1) \) et \( Q(x)=2 x^{2}-7 x+12 \) 1. **Calculons le degré de \( P(x) \)** : - Le degré de \( 2x + 3 \) est \( 1 \). - Le degré de \( x^{2} - 1 \) est \( 2 \). - Donc, \( \deg(P) = 1 + 2 = 3 \). 2. **Calculons le degré de \( Q(x) \)** : - Le terme de plus haut degré est \( 2 x^{2} \). - Donc, \( \deg(Q) = 2 \). 3. **Calculons le degré du produit \( P(x) \cdot Q(x) \)** : \[ \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) = 3 + 2 = 5 \] ### c) \( P(x)=x\left(x^{2}-3\right)^{2018} \) et \( Q(x)=(2 x+1)^{3}-8 x^{3}+3 x-1 \) 1. **Calculons le degré de \( P(x) \)** : - Le degré de \( x \) est \( 1 \). - Le degré de \( (x^{2}-3)^{2018} \) est \( 2 \times 2018 = 4036 \). - Donc, \( \deg(P) = 1 + 4036 = 4037 \). 2. **Calculons le degré de \( Q(x) \)** : - Le terme de plus haut degré dans \( (2x + 1)^{3} \) est \( 8x^{3} \). - Le terme \( -8x^{3} \) annule le terme de \( (2x + 1)^{3} \), donc nous devons examiner les autres termes. - Les autres termes sont \( 3x \) et \( -1 \), qui ont des degrés inférieurs. - Ainsi, le degré de \( Q(x) \) est \( 3 \). 3. **Calculons le degré du produit \( P(x) \cdot Q(x) \)** : \[ \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) = 4037 + 3 = 4040 \] ### Résumé des résultats : - a) \( \deg(P \cdot Q) = 5 \) - b) \( \deg(P \cdot Q) = 5 \) - c) \( \deg(P \cdot Q) = 4040 \)