Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben ist die Ebene E: \( 6 x_{1}-6 x_{2}-3 x_{3}=-12 \). Bestimme die Gleichung einer beliebigen Geraden, die parallel zu E ist und den Abstand d=9 zu E hat. 25

Um eine Gerade zu bestimmen, die parallel zur Ebene \( E: 6x_{1} - 6x_{2} - 3x_{3} = -12 \) ist und einen Abstand von \( d = 9 \) zur Ebene hat, gehen wir wie folgt vor: 1. **Normalenvektor der Ebene \( E \):** \[ \vec{n} = (6, -6, -3) \] 2. **Bestimmung der parallelen Gerade:** - Eine Gerade ist parallel zur Ebene \( E \), wenn ihr Richtungsvektor \( \vec{v} \) orthogonal zum Normalenvektor \( \vec{n} \) der Ebene ist. Das heißt: \[ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \] - Wählen wir beispielsweise \( \vec{v} = (1, 0, 2) \), da: \[ 6 \cdot 1 + (-6) \cdot 0 + (-3) \cdot 2 = 6 - 0 - 6 = 0 \] 3. **Bestimmung eines Punktes auf der Geraden:** - Der Abstand \( d \) zwischen der Geraden und der Ebene \( E \) wird durch die Entfernung eines beliebigen Punktes \( \vec{r}_0 = (a, b, c) \) der Geraden zur Ebene berechnet: \[ \frac{|6a - 6b - 3c + 12|}{\sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-3)^2}} = 9 \] - Vereinfacht ergibt sich: \[ |6a - 6b - 3c + 12| = 81 \] \[ 2a - 2b - c = 23 \quad \text{oder} \quad 2a - 2b - c = -31 \] - Wählen wir \( a = 0 \) und \( b = 0 \), dann ist \( c = -23 \) oder \( c = 31 \). Nehmen wir \( c = -23 \), so erhalten wir den Punkt \( \vec{r}_0 = (0, 0, -23) \). 4. **Gleichung der Geraden:** \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \cdot \vec{v} = (0, 0, -23) + t \cdot (1, 0, 2) \] \[ \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = t \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = -23 + 2t \end{cases} \] **Zusammenfassung:** Eine solche Gerade kann beispielsweise in Parameterform geschrieben werden als \[ \vec{r}(t) = (0,\;0,\;-23) + t\, (1,\;0,\;2) \] wobei \( t \) ein Parameter ist.