$$ \left\{ \begin{array} { l } { \int \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } d x } \ { x = \cosh ( \epsilon ) } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left\{ \begin{array} { l } { \int \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } d x } \ { x = \cosh ( \epsilon ) } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Si vuole calcolare l’integrale

I = ∫ √(1 + x²) dx

utilizzando la sostituzione proposta

x = cosh(ε).

Osserviamo però che, solitamente, per integrali del tipo ∫ √(1 + x²) dx è più naturale porre x = sinh(t), poiché, in tal caso, usando l’identità iperbolica cosh²t – sinh²t = 1, si semplifica notevolmente l’integrando. In ogni caso, seguiremo il procedimento con la sostituzione data (notando che, nel tragitto, potrebbe parersi che si ricada nell’integrale originale).

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1. Sostituzione e differenziale

Poniamo
  x = cosh(ε)
da cui si ottiene (derivando rispetto a ε)
  dx = sinh(ε) dε.

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2. Scrittura dell’integrale in funzione di ε

Sostituendo x = cosh(ε) nell’integrale, bisogna esprimere anche √(1 + x²) in funzione di ε. Scriviamo:
  √(1 + x²) = √(1 + cosh²(ε)).

Utilizziamo l’identità nota
  cosh²(ε) = 1 + sinh²(ε),
così che:
  1 + cosh²(ε) = 1 + (1 + sinh²(ε)) = 2 + sinh²(ε).

Pertanto l’integrale si esprime come
  I = ∫ √(2 + sinh²(ε)) · [sinh(ε) dε].

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3. Cambiamento di variabile (se utile)

In questo punto, si potrebbe tentare un ulteriore cambio di variabile: notiamo infatti che,
  sinh²(ε) = cosh²(ε) – 1     (per l’identità iperbolica),
ma ricordiamo che x = cosh(ε), dunque
  sinh²(ε) = x² – 1.
Allora
  √(2 + sinh²(ε)) = √(2 + x² – 1) = √(1 + x²).

Quindi, “tornando indietro”, vediamo che l’espressione dell’integrale in ε diventa
  I = ∫ √(1 + x²) · [sinh(ε) dε].
Ma ricordiamo che, da x = cosh(ε), abbiamo anche
  dx = sinh(ε)dε.
Pertanto, sostituendo infine dx al posto di sinh(ε) dε, risulta:
  I = ∫ √(1 + x²) dx.

Quindi la sostituzione scelta, x = cosh(ε), non ha in realtà semplificato l’integrale, in quanto abbiamo semplicemente riscritto l’integrale nella variabile originale.

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4. Risoluzione dell’integrale in maniera classica

Poiché la sostituzione data non semplifica il problema, possiamo procedere con la tecnica standard per l’integrale ∫ √(1 + x²) dx. Un risultato noto (che può essere verificato derivando) è:
  ∫ √(1 + x²) dx = (x/2) √(1 + x²) + (1/2) ln| x + √(1 + x²) | + C.

Vediamo brevemente come si ottiene questo risultato con una sostituzione alternativa (che si lascia come esercizio dettagliato per il lettore):

• Si pone x = sinh(t) così che dx = cosh(t) dt e √(1 + x²) diventa cosh(t), e l’integrale diventa
  ∫ cosh(t)·cosh(t) dt = ∫ cosh²(t) dt.
• Usando l’identità
  cosh²(t) = (1 + cosh(2t))/2,
l’integrale si risolve facilmente: si integra dt e cosh(2t) dt.
• Tornando alla variabile x, cioè usando t = arcsinh(x) = ln[x + √(1 + x²)], si ottiene la formula riportata.

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5. Risposta finale

Pertanto, si conclude che:

∫ √(1 + x²) dx = ½ x √(1 + x²) + ½ ln| x + √(1 + x²) | + C.

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Nota

La sostituzione indicata nel problema, x = cosh(ε), non porta a una semplificazione utile poiché, riscrivendo in funzione di ε, si finisce per ottenere l’integrale originale (in altre parole, si scambia semplicemente la variabile). È per questo che, nella pratica, si preferisce la sostituzione x = sinh(t) per questo tipo di integrali.

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Conclusione

La soluzione dell’integrale richiesto, pur considerando la sostituzione x = cosh(ε) proposta, è quindi:

(½)x √(1 + x²) + (½) ln| x + √(1 + x²) | + C.

Questo è il risultato finale.
L'integrale di √(1 + x²) dx è uguale a (½)x √(1 + x²) + (½) ln| x + √(1 + x²) | + C.

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