Utiliza la linealización para aproximar los oiguientes valores de las funciones
a. ; como sugerencia, puedes conviderar .
b.

Ask by John Robbins. in Mexico

Jan 19,2025

Question

Utiliza la linealización para aproximar los oiguientes valores de las funciones a. $$ f(x)=\sqrt{100} $$; como sugerencia, puedes conviderar $$ x_{0}=2.5^{1}=97.65 $$. b. $$ \log _{3}(1.25) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, utilizaremos la **linealización** para aproximar los valores de las funciones indicadas. La linealización de una función $$ f(x) $$ cerca de un punto $$ x_0 $$ se obtiene mediante la fórmula:

$$
L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
$$

Donde $$ f'(x_0) $$ es la derivada de $$ f $$ en $$ x_0 $$.

### a. Aproximar $$ f(x) = \sqrt{x} $$ cerca de $$ x_0 = 97.65 $$

**Paso 1: Identificar la función y el punto de linealización**

Consideramos $$ f(x) = \sqrt{x} $$ y el punto $$ x_0 = 97.65 $$.

**Paso 2: Calcular $$ f(x_0) $$ y $$ f'(x_0) $$**

$$
f(x_0) = \sqrt{97.65} \approx 9.88
$$

La derivada de $$ f(x) $$ es:

$$
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
$$

Evaluando en $$ x_0 $$:

$$
f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{97.65}} \approx \frac{1}{19.76} \approx 0.0506
$$

**Paso 3: Escribir la ecuación de la linealización**

$$
L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \approx 9.88 + 0.0506(x - 97.65)
$$

**Ejemplo de aproximación:**

Si queremos aproximar $$ f(100) $$:

$$
L(100) \approx 9.88 + 0.0506(100 - 97.65) \approx 9.88 + 0.0506 \times 2.35 \approx 9.88 + 0.119 \approx 10.00
$$

Esto coincide con el valor exacto $$ \sqrt{100} = 10 $$, demostrando la efectividad de la linealización cerca de $$ x_0 = 97.65 $$.

### b. Aproximar $$ \log_{3}(1.25) $$

**Paso 1: Identificar la función y el punto de linealización**

Consideramos $$ f(x) = \log_{3}(x) $$. Elegimos un punto cercano a 1.25 que sea fácil de manejar, típicamente $$ x_0 = 1 $$ ya que $$ \log_{3}(1) = 0 $$.

**Paso 2: Calcular $$ f(x_0) $$ y $$ f'(x_0) $$**

$$
f(x_0) = \log_{3}(1) = 0
$$

La derivada de $$ f(x) $$ es:

$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln{3}}
$$

Evaluando en $$ x_0 = 1 $$:

$$
f'(x_0) = \frac{1}{1 \cdot \ln{3}} \approx \frac{1}{1.0986} \approx 0.9102
$$

**Paso 3: Escribir la ecuación de la linealización**

$$
L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \approx 0 + 0.9102(x - 1) = 0.9102(x - 1)
$$

**Paso 4: Aproximar $$ \log_{3}(1.25) $$ usando la linealización**

$$
L(1.25) \approx 0.9102(1.25 - 1) = 0.9102 \times 0.25 \approx 0.2276
$$

**Valor exacto para comparación:**

$$
\log_{3}(1.25) = \frac{\ln{1.25}}{\ln{3}} \approx \frac{0.2231}{1.0986} \approx 0.2031
$$

La aproximación mediante linealización $$ 0.2276 $$ está bastante cerca del valor exacto $$ 0.2031 $$, mostrando la utilidad de este método para valores cercanos al punto de linealización.
Para aproximar $$ \sqrt{100} $$ cerca de $$ x_0 = 97.65 $$, usamos la linealización: $$ L(x) = 9.88 + 0.0506(x - 97.65) $$ Para $$ \log_{3}(1.25) $$, la aproximación lineal es: $$ L(x) = 0.9102(x - 1) $$ Estas fórmulas permiten estimar los valores de las funciones cerca de los puntos seleccionados.

Utiliza la linealización para aproximar los oiguientes valores de las funciones
a. ; como sugerencia, puedes conviderar .
b.

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Utiliza la linealización para aproximar los oiguientes valores de las funciones a. ; como sugerencia, puedes conviderar . b.