Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}9 \\ 3 \\ -20\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-6 x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3}=-6 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{l}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square \\ \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d }=\square \\ \text { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} \)

Um die Lage der Geraden \( g \) und der Ebene \( E \) zu untersuchen, setze zunächst die Parameterform der Geraden in die Ebenengleichung ein. Setze \( \vec{x} = \begin{pmatrix}-8 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ -20\end{pmatrix} \) in die Ebenengleichung \(-6x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -6\) ein und löse nach \( t \). Damit erhalten wir: \[ -6(-8 + 9t) - 2(-2 + 3t) - 3(3 - 20t) = -6 \] Das ergibt die Gleichung: \[ 48 - 54t + 4 - 6t - 9 + 60t = -6 \] Vereinfacht: \[ 43t + 43 = -6 \] \[ 43t = -49 \rightarrow t = -\frac{49}{43} \] Jetzt setze \( t \) zurück in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt \( D \) zu finden: \[ \vec{D} = \begin{pmatrix}-8 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} + \left(-\frac{49}{43}\right) \cdot \begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ -20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 + \frac{441}{43} \\ -2 + \frac{147}{43} \\ 3 + \frac{980}{43}\end{pmatrix} \] Das ergibt den Durchstoßpunkt \( D \) und zeigt, dass die Gerade die Ebene schneidet. Zusammenfassung: Die Gerade schneidet die Ebene, Durchstoßpunkt \( D \) \( \left( -\frac{368}{43}, \frac{41}{43}, \frac{1349}{43} \right) \).