Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \ -2 \ 3\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}9 \ 3 \ -20\end{array} ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-6 x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3}=-6 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{l} ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square \ ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d }=\square \ ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

Question

Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-8 \ -2 \ 3\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}9 \ 3 \ -20\end{array}ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-6 x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3}=-6 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{l}	ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square \ 	ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d }=\square \ 	ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**Die Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d = 7**

**Berechnungsschritte:**

1. **Richtungsvektor der Geraden $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 9 \ 3 \ -20 \end{pmatrix} $$**
   
2. **Normalenvektor der Ebene $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} -6 \ -2 \ -3 \end{pmatrix} $$**

3. **Prüfung auf Parallelität:**
   $$
   \vec{n} \cdot \vec{v} = (-6)(9) + (-2)(3) + (-3)(-20) = -54 -6 +60 = 0
   $$
   Da das Skalarprodukt null ist, ist die Gerade parallel zur Ebene.

4. **Berechnung des Abstands $$ d $$:**
   $$
   d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P}_0 + D|}{\|\vec{n}\|}
   $$
   Hier ist $$ \vec{P}_0 = \begin{pmatrix} -8 \ -2 \ 3 \end{pmatrix} $$ ein Punkt auf der Geraden und die Ebenengleichung lautet $$ -6x_1 -2x_2 -3x_3 + 6 = 0 $$, also $$ D = 6 $$.

$$
   \vec{n} \cdot \vec{P}_0 + D = (-6)(-8) + (-2)(-2) + (-3)(3) + 6 = 48 + 4 - 9 + 6 = 49
   $$
   $$
   \|\vec{n}\| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7
   $$
   $$
   d = \frac{49}{7} = 7
   $$

**Ergebnis:**
Die Gerade ist parallel zur Ebene, und der Abstand beträgt $$ d = 7 $$.
Die Gerade ist parallel zur Ebene und liegt 7 Einheiten entfernt von ihr.

Aufgabe: (2 Punkte)
Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade
mit der Ebene
Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
$ß$

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