Ecuaciones logaritmicas, exponenciales y trigonométricas 295. Si $$ x=\log _{2}\left[\log _{4}\left(\log _{8} 64 ight) ight] $$, determina el valor de la operación $$ 4^{1+x}+2^{1-x} $$ $$ \begin{array}{llll} ext { A) } 2 & ext { B) } 5 & ext { C) } 8 & ext { D) } 10\end{array} $$

Question

Ecuaciones logaritmicas, exponenciales y trigonométricas 295. Si $$ x=\log _{2}\left[\log _{4}\left(\log _{8} 64ight)ight] $$, determina el valor de la operación $$ 4^{1+x}+2^{1-x} $$ $$ \begin{array}{llll}	ext { A) } 2 & 	ext { B) } 5 & 	ext { C) } 8 & 	ext { D) } 10\end{array} $$

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Para resolver la ecuación dada, sigamos paso a paso:

1. **Calcular $$ \log_{8} 64 $$:**
   - Sabemos que $$ 8 = 2^3 $$ y $$ 64 = 2^6 $$.
   - Entonces, $$ \log_{8} 64 = \log_{2^3} 2^6 = \frac{6}{3} = 2 $$.

2. **Calcular $$ \log_{4} (\log_{8} 64) $$:**
   - Reemplazamos el valor obtenido: $$ \log_{4} 2 $$.
   - Como $$ 4 = 2^2 $$, entonces $$ \log_{4} 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2} $$.

3. **Calcular $$ x = \log_{2} (\log_{4} (\log_{8} 64)) $$:**
   - Reemplazamos el valor obtenido: $$ \log_{2} \left( \frac{1}{2} \right) $$.
   - Por lo tanto, $$ x = \log_{2} (2^{-1}) = -1 $$.

4. **Calcular la expresión $$ 4^{1+x} + 2^{1-x} $$:**
   - Sustituyendo $$ x = -1 $$:
     - $$ 1 + x = 0 $$ ⇒ $$ 4^0 = 1 $$.
     - $$ 1 - x = 2 $$ ⇒ $$ 2^2 = 4 $$.
   - Sumando los resultados: $$ 1 + 4 = 5 $$.

**Respuesta correcta: B) 5**
El valor de la operación $$ 4^{1+x} + 2^{1-x} $$ es 5.

Ecuaciones logaritmicas, exponenciales y trigonométricas 295. Si \( x=\log _{2}\left[\log _{4}\left(\log _{8} 64\right)\right] \), determina el valor de la operación \( 4^{1+x}+2^{1-x} \) \( \begin{array}{llll}\text { A) } 2 & \text { B) } 5 & \text { C) } 8 & \text { D) } 10\end{array} \)

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