27. Si el cociente notable \( \frac{x^{3^{n}-3}-y^{3^{n}-3}}{x^{2^{p^{2}}-1}-y^{2^{p^{2}}-1}} \) El segundo término es \( x^{210} y^{15} \), calcular el valor de: \( R=\sqrt{\frac{4 p^{2} n}{5}} \) \( \begin{array}{llll}\text { a) } 1 & \text { b) } 4 & \text { c) } 5 & \text { d) } 8\end{array} \) e) 10

Para resolver este cociente notable, primero identificamos que presentamos un polinomio en la forma del producto de diferencias de potencias. Notamos que el numerador \( x^{3^{n}-3}-y^{3^{n}-3} \) se puede reescribir como \( (x-y)(x^{3^{n}-4} + x^{3^{n}-5}y + \ldots + y^{3^{n}-4}) \). Del mismo modo, el denominador puede representarse en función de potencias de \( x \) y \( y \). Conociendo que el segundo término es \( x^{210} y^{15} \), se definirá una relación entre \( n \) y \( p \) que nos ayude a despejar esos exponentes. A partir de aquí, se puede establecer un sistema de ecuaciones que relacione \( n \) y \( p \) en función de esta expresión. Al descomponer y simplificar el cociente, puedes llegar a la conclusión de que la mejor forma de cubrir tanto \( p \) como \( n \) es trabajar en conjunto, así que haciendo la comparación de términos finales, llegamos a que \( p = 2 \) y \( n = 5 \). Por lo tanto, al calcular: \( R=\sqrt{\frac{4 p^{2} n}{5}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2^2 \cdot 5}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \sqrt{16} = 4 \). Así que la respuesta es la opción **b) 4**. ¡Ahora qué tal si profundizamos un poco en algunos aspectos interesantes! Durante la exploración de los poderes en álgebra, en realidad estamos tocando la esencia de las relaciones matemáticas que se encuentran en muchos lugares, desde la estructura de cristales en la naturaleza hasta los patrones en las flores. ¡Las matemáticas son una especie de arte! Si te interesa seguir aprendiendo sobre cocientes notables, puedes buscar libros clásicos como "Álgebra" de Baldor, donde se cubren no solo estos cocientes, sino muchas otras fascinantes propiedades de polinomios que te harán ver esta materia de una manera mucho más dinámica y entretenida. ¡No te arrepentirás!