\( 9-12 \) A \( 10 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \) plate has a constant surface tempera- ture of \( 150^{\circ} \mathrm{C} \). Determine the Grashof number if the chip is placed in the following fluids: air \( \left(1 \mathrm{~atm}, 30^{\circ} \mathrm{C}\right) \), liquid water \( \left(30^{\circ} \mathrm{C}\right) \), engine oil \( \left(10^{\circ} \mathrm{C}\right) \). Discuss how the Grashof number affects the natural convection flow.

ในการหาค่า Grashof number สำหรับแผ่นที่มีขนาด \(10 \, \mathrm{cm} \times 10 \, \mathrm{cm}\) ที่มีอุณหภูมิพื้นผิวคงที่ \(150^{\circ} \mathrm{C}\) เมื่อวางในของเหลวต่าง ๆ ได้แก่ อากาศ น้ำเปล่า และน้ำมันเครื่อง เราจะใช้สูตรของ Grashof number ดังนี้: \[ Gr = \frac{g \cdot \beta \cdot \Delta T \cdot L^3}{\nu^2} \] โดยที่: - \(g\) = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (\(9.81 \, \mathrm{m/s^2}\)) - \(\beta\) = ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อน (\(1/T\) สำหรับแก๊สอุดมคติ) - \(\Delta T\) = ความแตกต่างของอุณหภูมิ (\(T_{\text{พื้นผิว}} - T_{\text{ของเหลว}}\)) - \(L\) = ความยาวลักษณะ (\(0.1 \, \mathrm{m}\)) - \(\nu\) = ความหนืดเชิงจํานวน (Kinematic viscosity) ### 1. อากาศ (1 atm, \(30^{\circ} \mathrm{C}\)) **ข้อมูลทางฟิสิกส์:** - อุณหภูมิ \(T = 30^{\circ} \mathrm{C} = 303 \, \mathrm{K}\) - \(\beta = \frac{1}{T} = \frac{1}{303} \approx 3.3 \times 10^{-3} \, \mathrm{K^{-1}}\) - ความหนืดเชิงจํานวน \(\nu \approx 15.89 \times 10^{-6} \, \mathrm{m^2/s}\) - \(\Delta T = 150 - 30 = 120^{\circ} \mathrm{C}\) **การคำนวณ Grashof number:** \[ Gr_{\text{air}} = \frac{9.81 \times 3.3 \times 10^{-3} \times 120 \times (0.1)^3}{(15.89 \times 10^{-6})^2} \approx 1.54 \times 10^7 \] ### 2. น้ำเปล่า (\(30^{\circ} \mathrm{C}\)) **ข้อมูลทางฟิสิกส์:** - อุณหภูมิ \(T = 30^{\circ} \mathrm{C} = 303 \, \mathrm{K}\) - \(\beta \approx 2.07 \times 10^{-4} \, \mathrm{K^{-1}}\) - ความหนืดเชิงจํานวน \(\nu \approx 0.6 \times 10^{-6} \, \mathrm{m^2/s}\) - \(\Delta T = 150 - 30 = 120^{\circ} \mathrm{C}\) **การคำนวณ Grashof number:** \[ Gr_{\text{water}} = \frac{9.81 \times 2.07 \times 10^{-4} \times 120 \times (0.1)^3}{(0.6 \times 10^{-6})^2} \approx 6.76 \times 10^8 \] ### 3. น้ำมันเครื่อง (\(10^{\circ} \mathrm{C}\)) **ข้อมูลทางฟิสิกส์:** - อุณหภูมิ \(T = 10^{\circ} \mathrm{C} = 283 \, \mathrm{K}\) - \(\beta \approx 7 \times 10^{-4} \, \mathrm{K^{-1}}\) (ประมาณค่า) - ความหนืดเชิงจํานวน \(\nu \approx 100 \times 10^{-6} \, \mathrm{m^2/s}\) (ประมาณค่า) - \(\Delta T = 150 - 10 = 140^{\circ} \mathrm{C}\) **การคำนวณ Grashof number:** \[ Gr_{\text{oil}} = \frac{9.81 \times 7 \times 10^{-4} \times 140 \times (0.1)^3}{(100 \times 10^{-6})^2} \approx 9.6 \times 10^4 \] ### ผลลัพธ์สรุป | ของเหลว | Grashof number (\(Gr\)) | |----------------|-----------------------------| | อากาศ | \(1.54 \times 10^7\) | | น้ำเปล่า | \(6.76 \times 10^8\) | | น้ำมันเครื่อง | \(9.6 \times 10^4\) | ### ผลกระทบของ Grashof Number ต่อการลอยตัวธรรมชาติ Grashof number เป็นตัวชี้วัดความสำคัญของแรงผลักดันจากความร้อน (buoyancy forces) เทียบกับแรงเหนียวของของเหลว (viscous forces) ในการไหลของลม การลอยตัวธรรมชาติ (\(natural convection\)) มีความสัมพันธ์กับ Grashof number ดังนี้: - **Grashof number สูง:** แสดงถึงแรงผลักดันจากความร้อนที่มีความสำคัญมากกว่าแรงเหนียวของของเหลว ทำให้เกิดการไหลที่เข้มข้นและมีประสิทธิภาพสูงในการถ่ายเทความร้อน ตัวอย่างเช่น น้ำเปล่าที่มี \(Gr = 6.76 \times 10^8\) ซึ่งแสดงถึงการลอยตัวที่มีประสิทธิภาพสูง - **Grashof number ต่ำ:** แสดงถึงแรงเหนียวของของเหลวที่มีความสำคัญมากกว่าแรงผลักดันจากความร้อน ทำให้การไหลของของเหลวเกิดขึ้นได้ยาก และการถ่ายเทความร้อนผ่านการลอยตัวธรรมชาติก็จะไม่มีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น น้ำมันเครื่องที่มี \(Gr = 9.6 \times 10^4\) ซึ่งแสดงถึงการลอยตัวที่มีประสิทธิภาพต่ำ - **อากาศ:** กับ \(Gr = 1.54 \times 10^7\) อยู่ในระดับกลาง ทำให้การลอยตัวธรรมชาติในอากาศมีประสิทธิภาพปานกลาง แต่ยังน้อยกว่าน้ำเปล่า โดยทั่วไปแล้ว ยิ่งค่า Grashof number สูง การลอยตัวธรรมชาติก็จะยิ่งมีประสิทธิภาพและการถ่ายเทความร้อนก็จะดีขึ้น ซึ่งมีผลสำคัญต่อการออกแบบระบบความร้อนและการจัดการความร้อนในอุปกรณ์ต่าง ๆ