Domanda 20 di 21 20) Si consideri la matrice $$ A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \ 1 & a & 2 \ -1 & 1 & 0\end{array} ight) $$ Allora: per $$ a=-1 $$ la matrice è invertibile. per $$ a=-3 $$ la matrice ha determinante nullo $$ r(A)=2 \quad \forall a \in \mathbb{R} $$. Per $$ a=0 $$ la matrice è simmetrica.

Question

Domanda 20 di 21 20) Si consideri la matrice $$ A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \ 1 & a & 2 \ -1 & 1 & 0\end{array}ight) $$ Allora: per $$ a=-1 $$ la matrice è invertibile. per $$ a=-3 $$ la matrice ha determinante nullo $$ r(A)=2 \quad \forall a \in \mathbb{R} $$. Per $$ a=0 $$ la matrice è simmetrica.

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Analicemos cada afirmación una por una para la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \
1 & a & 2 \
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix} $$

1. **Para $$ a = -1 $$, la matriz es invertible.**
   
   Calculamos el determinante de $$ A $$:
   
   $$
   \det(A) = -1 \cdot (a \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - a \cdot (-1)) = 3 + a
   $$
   
   Para $$ a = -1 $$:
   
   $$
   \det(A) = 3 + (-1) = 2 \neq 0
   $$
   
   **Verdadero.**

2. **Para $$ a = -3 $$, la matriz tiene determinante nulo.**
   
   Para $$ a = -3 $$:
   
   $$
   \det(A) = 3 + (-3) = 0
   $$
   
   **Verdadero.**

3. **$$ r(A) = 2 $$ para todo $$ a \in \mathbb{R} $$.**
   
   El rango de la matriz $$ A $$ es 3 cuando el determinante es no nulo ($$ a \neq -3 $$) y 2 cuando $$ a = -3 $$. Por lo tanto, no es siempre 2.
   
   **Falso.**

4. **Para $$ a = 0 $$, la matriz es simétrica.**
   
   Evaluamos la simetría:
   
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   -1 & 0 & 1 \
   1 & 0 & 2 \
   -1 & 1 & 0
   \end{pmatrix}
   $$
   
   Observamos que $$ A_{1,2} = 0 $$ y $$ A_{2,1} = 1 $$, lo que no es igual. Por lo tanto, no es simétrica.
   
   **Falso.**

**Conclusión:** Las afirmaciones **1** y **2** son correctas.
Para $$ a = -1 $$, la matriz es invertible. Para $$ a = -3 $$, el determinante es cero. El rango de la matriz es 2 para todos los valores de $$ a $$. Para $$ a = 0 $$, la matriz no es simétrica.

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