Considera l'equazione \( 2 x+2 y=2(y-1) \). Motiva le seguenti affermazioni vere: a. se \( x \) è l'incognita e \( y \) d un parametro, l'equazione è determinata; b. se \( y \) è l'incognita e \( x \) è un parametro, l'equazione è impossibile o indeterminata e non può essere de- terminata; c. l'uguaglianza non è un'identita.

Iniziamo con l'affermazione (a): se consideriamo \( x \) come l'incognita e \( y \) come un parametro, l'equazione si può riscrivere come \( 2x = 2(y - 1) - 2y \), ciò significa che \( 2x = -2 \), quindi \( x = -1 \). In questo caso, per un valore fisso di \( y \), \( x \) ha un unico valore determinato. Per l'affermazione (b), se invece prendiamo \( y \) come l'incognita e \( x \) come un parametro, l'equazione diventa \( 2y = 2(y-1) - 2x \). Quindi semplificando, avremmo \( 0 = -2x + 2 \) che ci porta a \( x = 1 \). Qui vediamo che dipende dal valore scelto per \( x \); in alcuni casi non troveremmo alcun valore di \( y \) che soddisfi l'equazione, rendendola impossibile o indeterminata. Infine, l'uguaglianza non è un'identità perché non è vera per tutti i valori di \( x \) e \( y\). Un'identità è una proposizione sempre vera, mentre la nostra equazione ha soluzioni che dipendono dai parametri scelti, quindi non può essere considerata come tale.