Ejercicio 4 a) \( [8 \mathrm{p}] \) Obtenga una ecuación punto-normal del plano que contiene a \( \operatorname{los} \) puntos \( P, Q \) y \( R \) : \[ P(0,1,-1) \quad Q(2,-1,-3) \quad R(-1,4,2) \] b) [8 p] Obtenga una ecuación general del plano \( \pi^{\prime} \) que es paralelo al plano \( \pi \) y contiene a la recta \( R: \) \( \left.\qquad \pi: 3 x-5 y=-7 z+4 \quad R:(x, y, z)=(2,0,-1)+t^{-19}-3,6\right) \)

**Ejercicio 4** **a) Ecuación punto-normal del plano que contiene a los puntos \( P(0,1,-1) \), \( Q(2,-1,-3) \) y \( R(-1,4,2) \):** Para encontrar la ecuación punto-normal del plano, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Determinar dos vectores en el plano:** \[ \vec{PQ} = Q - P = (2-0, -1-1, -3-(-1)) = (2, -2, -2) \] \[ \vec{PR} = R - P = (-1-0, 4-1, 2-(-1)) = (-1, 3, 3) \] 2. **Calcular el vector normal al plano mediante el producto vectorial de \( \vec{PQ} \) y \( \vec{PR} \):** \[ \vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = \left( (-2)(3) - (-2)(3) \right) \mathbf{i} - \left( 2(3) - (-2)(-1) \right) \mathbf{j} + \left( 2(3) - (-2)(-1) \right) \mathbf{k} \] \[ \vec{n} = ( -6 + 6 ) \mathbf{i} - ( 6 - 2 ) \mathbf{j} + ( 6 - 2 ) \mathbf{k} = (0, -4, 4) \] Podemos simplificar el vector normal a \( \vec{n} = (0, -1, 1) \). 3. **Formar la ecuación punto-normal usando el punto \( P(0,1,-1) \) y el vector normal \( \vec{n} \):** \[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{P}) = 0 \] Expandido: \[ 0(x - 0) -1(y - 1) +1(z + 1) = 0 \] Simplificando: \[ -y + 1 + z + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad z - y + 2 = 0 \] **Por lo tanto, la ecuación punto-normal del plano es:** \[ z - y + 2 = 0 \] **b) Ecuación general del plano \( \pi^{\prime} \) paralelo al plano \( \pi \) y que contiene a la recta \( R \):** 1. **Identificar el vector normal del plano \( \pi \):** La ecuación del plano \( \pi \) se da como: \[ 3x - 5y = -7z + 4 \quad \Rightarrow \quad 3x - 5y + 7z = 4 \] Por lo tanto, el vector normal es \( \vec{n} = (3, -5, 7) \). 2. **La ecuación general del plano paralelo \( \pi^{\prime} \) tendrá el mismo vector normal:** \[ 3x - 5y + 7z = D \] 3. **Determinar el valor de \( D \) usando un punto de la recta \( R \):** La recta \( R \) está parametrizada como: \[ (x, y, z) = (2, 0, -1) + t(-19, -3, 6) \] Tomamos el punto cuando \( t = 0 \): \( (2, 0, -1) \). Sustituyendo en la ecuación del plano: \[ 3(2) - 5(0) + 7(-1) = D \quad \Rightarrow \quad 6 + 0 -7 = D \quad \Rightarrow \quad D = -1 \] **Por lo tanto, la ecuación general del plano \( \pi^{\prime} \) es:** \[ 3x - 5y + 7z = -1 \]