(25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Brooks Macdonald. in Chile

Jan 05,2025

Question

(25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Brooks Macdonald. in Chile

Jan 05,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Para maximizar la utilidad de la empresa, seguiremos los siguientes pasos utilizando el criterio de la segunda derivada.

### **1. Determinar la función de utilidad (U(x))**

La utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

- **Ingresos (R(x))**:
  $$
  R(x) = p(x) \cdot x = \left(55 - \frac{x}{1000}\right) \cdot x = 55x - \frac{x^2}{1000}
  $$

- **Costos (C(x))**:
  $$
  C(x) = 1200 + 25x - 0.0001x^2
  $$

- **Utilidad (U(x))**:
  $$
  U(x) = R(x) - C(x) = \left(55x - \frac{x^2}{1000}\right) - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right)
  $$
  $$
  U(x) = 55x - \frac{x^2}{1000} - 1200 - 25x + 0.0001x^2
  $$
  $$
  U(x) = 30x - 0.0009x^2 - 1200
  $$

### **2. Encontrar la derivada primera de U(x)**

$$
U'(x) = \frac{dU}{dx} = 30 - 0.0018x
$$

### **3. Encontrar los puntos críticos estableciendo U'(x) = 0**

$$
30 - 0.0018x = 0
$$
$$
0.0018x = 30
$$
$$
x = \frac{30}{0.0018} = 16666.\overline{6}
$$

### **4. Aplicar el criterio de la segunda derivada**

Calculamos la segunda derivada de U(x):

$$
U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -0.0018
$$

Como $$ U''(x) < 0 $$, la función es cóncava en este punto crítico, lo que indica que $$ x = 16666.\overline{6} $$ es un punto de **máximo**.

### **5. Interpretación del resultado**

La empresa maximiza su utilidad cuando presta aproximadamente **16,667 servicios**. En este nivel de prestación de servicios, la diferencia entre ingresos y costos es la más elevada posible, optimizando así las ganancias de la empresa.
Para maximizar la utilidad, la empresa debe prestar aproximadamente 16,667 servicios.

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