Esercizio 4. Un'urna contiene esattamente 4 biglie rosse e 3 blu. Da tale ur- na si effettuano 3 successive estrazioni senza reinserimento, registrando il colore dell'elemento via via estratto. 1) Elencare gli eventi elementari in questo esperimento e contare quanti sono. 2) Quanti sono, fra tali eventi elementari, quelli che realizzano l'evento $$ \text { \{"ci sono almeno } 2 \text { biglie blu tra quelle estratte" \}? } $$ 3) Quali e quanti sono, fra tali eventi elementari, quelli che realizzano l'evento \{ "almeno 2 biglie estratte sono blu" $$ \} \cup\{ $$ "la seconda biglia estratta è blu" \}?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1) Gli eventi elementari sono le sequenze dei colori estratti nelle 3 estrazioni. Poiché si registrano solo i colori e l’urna contiene 4 biglie rosse (R) e 3 blu (B), l’unica informazione rilevante è il colore estratto in ciascuna posizione.  
   Le possibili sequenze, considerando che ogni sequenza è ammissibile se non si verifica un numero di estrazioni di un colore superiore a quello disponibile (e in 3 estrazioni con 4 rosse e 3 blu non sussistono problemi), sono:
   
   $$
   RRR,\quad RRB,\quad RBR,\quad BRR,\quad RBB,\quad BRB,\quad BBR,\quad BBB.
   $$

Il numero totale degli eventi elementari è dunque $$8$$.

2) Consideriamo l’evento $$\{\text{"ci sono almeno 2 biglie blu tra quelle estratte"}\}$$.  
   Questo evento comprende le sequenze che hanno esattamente 2 blu oppure esattamente 3 blu.

- Sequenze con esattamente 2 blu:
     $$
     RBB,\quad BRB,\quad BBR.
     $$
     
   - Sequenza con 3 blu:
     $$
     BBB.
     $$
     
   In totale, le sequenze che realizzano l’evento sono:
   
   $$
   RBB,\quad BRB,\quad BBR,\quad BBB.
   $$
   
   Quindi, vi sono $$4$$ eventi elementari.

3) Dato l’evento $$\{ \text{"almeno 2 biglie estratte sono blu"}\} \cup \{ \text{"la seconda biglia estratta è blu"}\}$$, identifichiamo le sequenze che soddisfano almeno una delle due condizioni.

Sia:
   - $$A$$ l’evento “almeno 2 biglie blu”, che abbiamo visto comprende:
     $$
     RBB,\quad BRB,\quad BBR,\quad BBB.
     $$
   - $$B$$ l’evento “la seconda biglia estratta è blu”, cioè le sequenze in cui il secondo simbolo è $$B$$:
     $$
     RBR,\quad RBB,\quad BBR,\quad BBB.
     $$
     
   L’unione $$A\cup B$$ comprende tutte le sequenze che appartengono ad almeno uno degli eventi. Unendo i due insiemi, si ottiene:
   
   $$
   RBR,\quad RBB,\quad BRB,\quad BBR,\quad BBB.
   $$
   
   Pertanto, vi sono $$5$$ eventi elementari che realizzano l’evento dato.
1) Ci sono 8 eventi elementari: RRR, RRB, RBR, BRR, RBB, BRB, BBR, BBB. 2) Ci sono 4 eventi elementari che hanno almeno 2 biglie blu: RBB, BRB, BBR, BBB. 3) Ci sono 5 eventi elementari che soddisfano almeno una delle due condizioni: RBR, RBB, BRB, BBR, BBB.

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