13. Dadas las funciones \( f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}, g(x)=\sqrt{x+2}, h(x)=\frac{-1}{x^{2}} \), calcula: \( \begin{array}{ll}\text { a) }(f \circ g)(x) & \text { c) }(g \circ h)(1) \\ \text { b) }(f \circ h \circ g)(x) & \text { d) }(g \circ g)(2)\end{array} \)

Claro, resolvamos cada una de las composiciones de funciones paso a paso. ### a) \( (f \circ g)(x) \) **Definición de la composición:** \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \] **Paso 1:** Calcular \( g(x) \) \[ g(x) = \sqrt{x + 2} \] **Paso 2:** Sustituir \( g(x) \) en \( f(x) \) \[ f(g(x)) = \frac{(g(x))^2 + 1}{g(x)} = \frac{(\sqrt{x + 2})^2 + 1}{\sqrt{x + 2}} \] **Paso 3:** Simplificar \[ (\sqrt{x + 2})^2 = x + 2 \] \[ f(g(x)) = \frac{x + 2 + 1}{\sqrt{x + 2}} = \frac{x + 3}{\sqrt{x + 2}} \] **Respuesta:** \[ (f \circ g)(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x + 2}} \] --- ### b) \( (f \circ h \circ g)(x) \) **Definición de la composición:** \[ (f \circ h \circ g)(x) = f(h(g(x))) \] **Paso 1:** Calcular \( g(x) \) \[ g(x) = \sqrt{x + 2} \] **Paso 2:** Calcular \( h(g(x)) \) \[ h(g(x)) = \frac{-1}{(g(x))^2} = \frac{-1}{(\sqrt{x + 2})^2} = \frac{-1}{x + 2} \] **Paso 3:** Sustituir \( h(g(x)) \) en \( f(x) \) \[ f\left(\frac{-1}{x + 2}\right) = \frac{\left(\frac{-1}{x + 2}\right)^2 + 1}{\frac{-1}{x + 2}} \] **Paso 4:** Simplificar \[ \left(\frac{-1}{x + 2}\right)^2 = \frac{1}{(x + 2)^2} \] \[ f\left(\frac{-1}{x + 2}\right) = \frac{\frac{1}{(x + 2)^2} + 1}{\frac{-1}{x + 2}} = \frac{\frac{1 + (x + 2)^2}{(x + 2)^2}}{\frac{-1}{x + 2}} = \frac{1 + (x + 2)^2}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x + 2}{-1} \] \[ = \frac{(x + 2)^2 + 1}{(x + 2)^2} \cdot \frac{-(x + 2)}{1} = -\frac{(x + 2)^2 + 1}{(x + 2)} \] \[ = -\frac{x^2 + 4x + 4 + 1}{x + 2} = -\frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2} \] **Respuesta:** \[ (f \circ h \circ g)(x) = -\frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2} \] --- ### c) \( (g \circ h)(1) \) **Definición de la composición:** \[ (g \circ h)(1) = g(h(1)) \] **Paso 1:** Calcular \( h(1) \) \[ h(1) = \frac{-1}{1^2} = -1 \] **Paso 2:** Sustituir \( h(1) \) en \( g(x) \) \[ g(-1) = \sqrt{(-1) + 2} = \sqrt{1} = 1 \] **Respuesta:** \[ (g \circ h)(1) = 1 \] --- ### d) \( (g \circ g)(2) \) **Definición de la composición:** \[ (g \circ g)(2) = g(g(2)) \] **Paso 1:** Calcular \( g(2) \) \[ g(2) = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] **Paso 2:** Sustituir \( g(2) \) en \( g(x) \) \[ g(2) = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] **Respuesta:** \[ (g \circ g)(2) = 2 \]