PROBLEMA 7 En una proporción geométrica continua la mayor diferencia positiva que existe entre dos de sus términos es igual a la menor suma que se tiene entre dos de ellos, si el extremo mayor excede en 6 a la media proporcional. Calcular el extremo menor. \( \begin{array}{lll}\text { A) } 6 & \text { B) } 12 & \text { C) } 4 \\ \text { D) } 2 & \text { E) } 3 & \end{array} \)

Vamos a plantear el problema de manera ordenada. Sea la razón de la proporción geométrica \( r \) y los tres términos como \( a \), \( ar \) y \( ar^2 \). Según el enunciado, la mayor diferencia positiva entre dos de sus términos es \( ar^2 - a \) y la menor suma es \( a + ar \). La condición dada es que la diferencia mayor es igual a la suma menor: \[ ar^2 - a = a + ar \] Además, se menciona que el extremo mayor \( ar^2 \) excede en 6 a la media proporcional \( \sqrt{a \cdot ar^2} = ar \): \[ ar^2 = ar + 6 \] Ahora tenemos el sistema de ecuaciones: 1. \( ar^2 - a = a + ar \) 2. \( ar^2 = ar + 6 \) Resolviendo la primera ecuación: \[ ar^2 - a - a - ar = 0 \] \[ ar^2 - ar - 2a = 0 \] De la segunda ecuación despejamos \( ar^2 \): \[ ar^2 = ar + 6 \] Sustituyendo \( ar + 6 \) en la primera ecuación: \[ ar + 6 - a - ar = a + ar \] \[ 6 - a = 2a \] \[ 6 = 3a \] \[ a = 2 \] Por lo tanto, el extremo menor es \( a = 2 \). La respuesta correcta es la opción D) 2.