В прямоугольном треугольнике $$ A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right) $$ биссектрисы острых углов пересекаются в точке $$ O $$. Найдите $$ A O $$, если $$ A C=12, B C=9 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике $$ ABC $$ с прямым углом в вершине $$ C $$ и сторонами $$ AC = 12 $$, $$ BC = 9 $$, найдем длину отрезка $$ AO $$, где $$ O $$ — точка пересечения биссектрис острых углов (то есть, инцентр треугольника).

1. **Найдем гипотенузу $$ AB $$:**
   $$
   AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15
   $$

2. **Вычислим радиус вписанной окружности $$ r $$:**
   В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
   $$
   r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{12 + 9 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3
   $$
   
3. **Определим координаты точек:**
   - Пусть вершина $$ C $$ находится в начале координат $$ (0, 0) $$.
   - Вершина $$ A $$ — $$ (0, 12) $$.
   - Вершина $$ B $$ — $$ (9, 0) $$.
   - Инцентр $$ O $$ находится на расстоянии $$ r $$ от обоих катетов, то есть в точке $$ (3, 3) $$.

4. **Найдем расстояние $$ AO $$ с помощью формулы расстояния между двумя точками:**
   $$
   AO = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 12)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}
   $$

**Ответ:** $$ AO = 3 \sqrt{10} $$.
Длина $$ AO $$ равна $$ 3 \sqrt{10} $$.

В прямоугольном треугольнике
биссектрисы острых
углов пересекаются в точке . Найдите
, если .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions

В прямоугольном треугольнике биссектрисы острых углов пересекаются в точке . Найдите , если .