88. La diagonale di un rettangolo è congruente al lato di un quadrato di area \( 20,25 \mathrm{~cm}^{2} \) e la dimensione minore è \( 3 / 5 \) della diagonale. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo. \( \left[12,6 \mathrm{~cm} ; 9,72 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo. ### Passo 1: Calcolare il lato del quadrato L'area di un quadrato è data dalla formula: \[ A = l^2 \] dove \( l \) è il lato del quadrato. Dato che l'area è \( 20,25 \, \text{cm}^2 \), possiamo calcolare il lato \( l \): \[ l = \sqrt{20,25} \] ### Passo 2: Calcolare la diagonale del rettangolo La diagonale \( d \) del rettangolo è congruente al lato del quadrato, quindi: \[ d = l \] ### Passo 3: Relazione tra la dimensione minore e la diagonale Sappiamo che la dimensione minore \( b \) del rettangolo è \( \frac{3}{5} \) della diagonale: \[ b = \frac{3}{5} d \] ### Passo 4: Utilizzare il teorema di Pitagora Il rettangolo ha due lati, \( a \) (dimensione maggiore) e \( b \) (dimensione minore). La diagonale \( d \) è data dalla relazione: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] ### Passo 5: Sostituire e risolvere Ora possiamo sostituire \( b \) e \( d \) nella formula di Pitagora: \[ d = \sqrt{a^2 + \left(\frac{3}{5} d\right)^2} \] Sostituiamo \( d \) con \( l \): \[ l = \sqrt{a^2 + \left(\frac{3}{5} l\right)^2} \] Ora calcoliamo \( l \) e poi risolveremo l'equazione per \( a \). Iniziamo a calcolare \( l \) e poi procederemo con i calcoli. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{20.25}\) - step1: Rewrite the expression: \(\sqrt{\frac{81}{4}}\) - step2: Use the properties of radicals: \(\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}\) - step3: Simplify the expression: \(\frac{9}{2}\) Calculate or simplify the expression \( (3/5)*(9/2) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{3}{5}\times \frac{9}{2}\) - step1: Multiply the fractions: \(\frac{3\times 9}{5\times 2}\) - step2: Multiply: \(\frac{27}{10}\) Calculate or simplify the expression \( (9/2)^2 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\left(\frac{9}{2}\right)^{2}\) - step1: Use the properties of exponents: \(\frac{9^{2}}{2^{2}}\) - step2: Evaluate the power: \(\frac{81}{2^{2}}\) - step3: Evaluate the power: \(\frac{81}{4}\) Solve the equation \( (9/2)^2 = a^2 + (27/10)^2 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve using square roots: \(\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=a^{2}+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}\) - step1: Evaluate the power: \(\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=a^{2}+\frac{729}{100}\) - step2: Swap the sides: \(a^{2}+\frac{729}{100}=\left(\frac{9}{2}\right)^{2}\) - step3: Add or subtract both sides: \(a^{2}=\frac{324}{25}\) - step4: Simplify the expression: \(a=\pm \sqrt{\frac{324}{25}}\) - step5: Simplify the expression: \(a=\pm \frac{18}{5}\) - step6: Separate into possible cases: \(\begin{align}&a=\frac{18}{5}\\&a=-\frac{18}{5}\end{align}\) - step7: Rewrite: \(a_{1}=-\frac{18}{5},a_{2}=\frac{18}{5}\) Calculate or simplify the expression \( (9/2)*(27/10) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{9}{2}\times \frac{27}{10}\) - step1: Multiply the fractions: \(\frac{9\times 27}{2\times 10}\) - step2: Multiply: \(\frac{243}{20}\) Calculate or simplify the expression \( 2*(9/2 + 27/10) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(2\left(\frac{9}{2}+\frac{27}{10}\right)\) - step1: Add the numbers: \(2\times \frac{36}{5}\) - step2: Multiply: \(\frac{2\times 36}{5}\) - step3: Multiply: \(\frac{72}{5}\) ### Risoluzione finale Abbiamo calcolato i seguenti valori: 1. **Lato del quadrato** \( l \): \[ l = 4.5 \, \text{cm} \] 2. **Dimensione minore del rettangolo** \( b \): \[ b = \frac{3}{5} l = 2.7 \, \text{cm} \] 3. **Dimensione maggiore del rettangolo** \( a \): \[ a = \frac{18}{5} = 3.6 \, \text{cm} \] ### Passo 6: Calcolare il perimetro e l'area del rettangolo - **Perimetro \( P \)** del rettangolo: \[ P = 2(a + b) = 2(3.6 + 2.7) = 2 \times 6.3 = 12.6 \, \text{cm} \] - **Area \( A \)** del rettangolo: \[ A = a \times b = 3.6 \times 2.7 = 9.72 \, \text{cm}^2 \] ### Risultati finali - **Perimetro**: \( 12.6 \, \text{cm} \) - **Area**: \( 9.72 \, \text{cm}^2 \) Quindi, i risultati sono: \[ \left[12.6 \, \text{cm} ; 9.72 \, \text{cm}^2\right] \]