88. La diagonale di un rettangolo è congruente al lato di un quadrato di area $$ 20,25 \mathrm{~cm}^{2} $$ e la dimensione minore è $$ 3 / 5 $$ della diagonale. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo. $$ \left[12,6 \mathrm{~cm} ; 9,72 \mathrm{~cm}^{2}\right] $$

Question

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Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo.

### Passo 1: Calcolare il lato del quadrato

L'area di un quadrato è data dalla formula:
$$
A = l^2
$$
dove $$ l $$ è il lato del quadrato. Dato che l'area è $$ 20,25 \, \text{cm}^2 $$, possiamo calcolare il lato $$ l $$:
$$
l = \sqrt{20,25}
$$

### Passo 2: Calcolare la diagonale del rettangolo

La diagonale $$ d $$ del rettangolo è congruente al lato del quadrato, quindi:
$$
d = l
$$

### Passo 3: Relazione tra la dimensione minore e la diagonale

Sappiamo che la dimensione minore $$ b $$ del rettangolo è $$ \frac{3}{5} $$ della diagonale:
$$
b = \frac{3}{5} d
$$

### Passo 4: Utilizzare il teorema di Pitagora

Il rettangolo ha due lati, $$ a $$ (dimensione maggiore) e $$ b $$ (dimensione minore). La diagonale $$ d $$ è data dalla relazione:
$$
d = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

### Passo 5: Sostituire e risolvere

Ora possiamo sostituire $$ b $$ e $$ d $$ nella formula di Pitagora:
$$
d = \sqrt{a^2 + \left(\frac{3}{5} d\right)^2}
$$

Sostituiamo $$ d $$ con $$ l $$:
$$
l = \sqrt{a^2 + \left(\frac{3}{5} l\right)^2}
$$

Ora calcoliamo $$ l $$ e poi risolveremo l'equazione per $$ a $$.

Iniziamo a calcolare $$ l $$ e poi procederemo con i calcoli.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{20.25}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\frac{81}{4}}$$
- step2: Use the properties of radicals:
  $$\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{9}{2}$$
Calculate or simplify the expression $$ (3/5)*(9/2) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{3}{5}\times \frac{9}{2}$$
- step1: Multiply the fractions:
  $$\frac{3\times 9}{5\times 2}$$
- step2: Multiply:
  $$\frac{27}{10}$$
Calculate or simplify the expression $$ (9/2)^2 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$
- step1: Use the properties of exponents:
  $$\frac{9^{2}}{2^{2}}$$
- step2: Evaluate the power:
  $$\frac{81}{2^{2}}$$
- step3: Evaluate the power:
  $$\frac{81}{4}$$
Solve the equation $$ (9/2)^2 = a^2 + (27/10)^2 $$.
Solve the quadratic equation by following steps:
- step0: Solve using square roots:
  $$\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=a^{2}+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}$$
- step1: Evaluate the power:
  $$\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=a^{2}+\frac{729}{100}$$
- step2: Swap the sides:
  $$a^{2}+\frac{729}{100}=\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$
- step3: Add or subtract both sides:
  $$a^{2}=\frac{324}{25}$$
- step4: Simplify the expression:
  $$a=\pm \sqrt{\frac{324}{25}}$$
- step5: Simplify the expression:
  $$a=\pm \frac{18}{5}$$
- step6: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&a=\frac{18}{5}\&a=-\frac{18}{5}\end{align}$$
- step7: Rewrite:
  $$a_{1}=-\frac{18}{5},a_{2}=\frac{18}{5}$$
Calculate or simplify the expression $$ (9/2)*(27/10) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{9}{2}\times \frac{27}{10}$$
- step1: Multiply the fractions:
  $$\frac{9\times 27}{2\times 10}$$
- step2: Multiply:
  $$\frac{243}{20}$$
Calculate or simplify the expression $$ 2*(9/2 + 27/10) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$2\left(\frac{9}{2}+\frac{27}{10}\right)$$
- step1: Add the numbers:
  $$2\times \frac{36}{5}$$
- step2: Multiply:
  $$\frac{2\times 36}{5}$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{72}{5}$$
### Risoluzione finale

Abbiamo calcolato i seguenti valori:

1. **Lato del quadrato** $$ l $$:
   $$
   l = 4.5 \, \text{cm}
   $$

2. **Dimensione minore del rettangolo** $$ b $$:
   $$
   b = \frac{3}{5} l = 2.7 \, \text{cm}
   $$

3. **Dimensione maggiore del rettangolo** $$ a $$:
   $$
   a = \frac{18}{5} = 3.6 \, \text{cm}
   $$

### Passo 6: Calcolare il perimetro e l'area del rettangolo

- **Perimetro $$ P $$** del rettangolo:
$$
P = 2(a + b) = 2(3.6 + 2.7) = 2 \times 6.3 = 12.6 \, \text{cm}
$$

- **Area $$ A $$** del rettangolo:
$$
A = a \times b = 3.6 \times 2.7 = 9.72 \, \text{cm}^2
$$

### Risultati finali

- **Perimetro**: $$ 12.6 \, \text{cm} $$
- **Area**: $$ 9.72 \, \text{cm}^2 $$

Quindi, i risultati sono:
$$
\left[12.6 \, \text{cm} ; 9.72 \, \text{cm}^2\right]
$$
Il perimetro del rettangolo è $$ 12,6 \, \text{cm} $$ e l'area è $$ 9,72 \, \text{cm}^2 $$.

La diagonale di un rettangolo è congruente
al lato di un quadrato di area
e la dimensione minore è della
diagonale. Calcola il perimetro e l’area
del rettangolo.

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