$$ y = \sqrt { \frac { \ln ^ { 2 } x - 1 } { ( \ln x ^ { 2 } - 1 ) \ln ( x - 1 ) } } $$

Question

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La funzione data è: $$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^2 - 1 }{ ( \ln x^{2} - 1 ) \cdot \ln ( x - 1 ) } } $$ ### Semplificazione della Funzione Possiamo semplificare l'espressione all'interno della radice quadrata: 1. **Semplificare $$\ln x^{2}$$:** $$ \ln x^{2} = 2 \ln x $$ 2. **Sostituire nella funzione originale:** $$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^2 - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln ( x - 1 ) } } $$ ### Dominio della Funzione Per determinare il dominio della funzione, dobbiamo considerare le condizioni imposte da ciascun elemento dell'espressione: 1. **Argomento del logaritmo naturale $$\ln x$$:** $$ x > 0 $$ 2. **Argomento del logaritmo naturale $$\ln (x - 1)$$:** $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ 3. **Espressione sotto la radice quadrata deve essere non negativa:** $$ \frac{ (\ln x)^2 - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln ( x - 1 ) } \geq 0 $$ Questo implica che il numeratore e il denominatore devono avere lo stesso segno. ### Analisi della Segnatura Per analizzare quando la frazione è non negativa, esaminiamo i segni dei singoli componenti: - **Numeratore $$(\ln x)^2 - 1$$:** Questo espressione è positiva quando $$|\ln x| > 1$$, cioè quando: $$ \ln x > 1 \implies x > e $$ oppure $$ \ln x < -1 \implies x < \frac{1}{e} $$ Tuttavia, dato che $$x > 1$$ dal requisito di $$\ln (x - 1)$$, la seconda possibilità ($$x < \frac{1}{e}$$) è scartata. Quindi, il numeratore è positivo solo per $$x > e$$. - **Denominatore $$(2 \ln x - 1) \cdot \ln (x - 1)$$:** - **Termine $$2 \ln x - 1$$:** $$ 2 \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = \frac{1}{2} \implies x = \sqrt{e} $$ Quindi: - $$2 \ln x - 1 > 0 \implies x > \sqrt{e}$$ - $$2 \ln x - 1 < 0 \implies 1 < x < \sqrt{e}$$ - **Termine $$\ln (x - 1)$$:** $$ \ln (x - 1) > 0 \implies x - 1 > 1 \implies x > 2 $$ e $$ \ln (x - 1) < 0 \implies 1 < x < 2 $$ Quindi, il denominatore è: - Positivo se entrambi i termini sono positivi o entrambi negativi. - Negativo se uno è positivo e l'altro è negativo. ### Conclusione sul Dominio Considerando le condizioni sopra: - **Per $$x > e$$:** - Numeratore positivo. - Denominatore: $$2 \ln x - 1 > 0$$ e $$\ln (x - 1) > 0$$ poiché $$x > e > 2$$. Quindi, denominatore positivo. - **Risultato:** Espressione sotto la radice positiva. - **Per $$1 < x < \sqrt{e}$$:** - Numeratore: $$(\ln x)^2 - 1 < 0$$ poiché $$\ln x < 1$$. - Denominatore: $$2 \ln x - 1 < 0$$ e $$\ln (x - 1)$$ dipende da $$x$$. Tuttavia, dato che $$x > 1$$, per $$1 < x < 2$$, $$\ln(x - 1) < 0$$. Quindi, il denominatore è positivo ($$2 \ln x -1 <0$$ e $$\ln(x -1) <0$$), mentre il numeratore è negativo. La frazione è negativa, quindi non è valida sotto la radice. - **Per $$\sqrt{e} < x < e$$:** - Numeratore: $$(\ln x)^2 - 1 < 0$$ se $$1 < \ln x < \sqrt{e}$$, ma dato che $$x < e$$, $$\ln x <1$$, dunque il numeratore è negativo. - Denominatore: $$2 \ln x -1 >0$$ non è vero perché $$x < e$$, quindi $$2 \ln x -1 <0$$, e $$\ln(x -1)$$ dipende. Generalmente, per $$x > e$$, la funzione è definita e reale. ### Dominio Finale La funzione $$y$$ è definita per: $$ x > e $$ ### Rappresentazione Grafica Per $$x > e$$, la funzione è: $$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^2 - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln ( x - 1 ) } } $$ Questa funzione sarà reale e definita solo per valori di $$x$$ maggiori di $$e$$. La radice quadrata assicura che il valore interno sia non negativo. ### Considerazioni Finali - **Asintoti:** Potrebbero esistere asintoti verticali o orizzontali a seconda del comportamento della funzione quando $$x$$ tende a $$e$$ o all'infinito. - **Derivata:** Per analizzare la crescita o decrescita della funzione, si potrebbe calcolare la derivata di $$y$$ rispetto a $$x$$. - **Applicazioni:** Funzioni complesse come questa possono trovare applicazioni in modelli matematici avanzati, ma senza un contesto specifico è difficile determinarne l'uso esatto. La funzione $$ y = \sqrt{ \frac{ (\ln x)^2 - 1 }{ (2 \ln x - 1) \cdot \ln ( x - 1 ) } } $$ è definita per $$ x > e $$.

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