Esercizio 1. Si consideri l'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ dato da $$ F(p(x))=p(x+1)-x p^{\prime}(x) $$ dove $$ p^{\prime}(x) $$ indica la derivata prima del polinomio $$ p(x) $$ (a) Si determini una matrice associata ad $$ F $$.

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Per determinare una matrice associata all'endomorfismo $$ F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] $$ definito da
$$ F(p(x)) = p(x+1) - x p^{\prime}(x), $$
utilizziamo la base canonica $$\{1, x, x^2\}$$ di $$\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$$.

Calcoliamo l'immagine di ciascun elemento della base:

1. **Calcolo di $$ F(1) $$:**
   $$
   p(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad p^{\prime}(x) = 0
   $$
   $$
   F(1) = 1 - x \cdot 0 = 1
   $$
   Quindi,
   $$
   F(1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2
   $$
   Questo fornisce la prima colonna della matrice:
   $$
   \begin{pmatrix}
   1 \
   0 \
   0
   \end{pmatrix}
   $$

2. **Calcolo di $$ F(x) $$:**
   $$
   p(x) = x \quad \Rightarrow \quad p^{\prime}(x) = 1
   $$
   $$
   F(x) = (x + 1) - x \cdot 1 = 1
   $$
   Quindi,
   $$
   F(x) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2
   $$
   Questo fornisce la seconda colonna della matrice:
   $$
   \begin{pmatrix}
   1 \
   0 \
   0
   \end{pmatrix}
   $$

3. **Calcolo di $$ F(x^2) $$:**
   $$
   p(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad p^{\prime}(x) = 2x
   $$
   $$
   p(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
   $$
   $$
   F(x^2) = (x^2 + 2x + 1) - x \cdot 2x = x^2 + 2x + 1 - 2x^2 = -x^2 + 2x + 1
   $$
   Quindi,
   $$
   F(x^2) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot x - 1 \cdot x^2
   $$
   Questo fornisce la terza colonna della matrice:
   $$
   \begin{pmatrix}
   1 \
   2 \
   -1
   \end{pmatrix}
   $$

**Matrice associata a $$ F $$:**
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 2 \
0 & 0 & -1 \
\end{pmatrix}
$$
La matrice associata all'endomorfismo $$ F $$ è: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & -1 \ \end{pmatrix} $$

Esercizio 1. Si consideri l’endomorfismo dato da

dove indica la derivata prima del polinomio
(a) Si determini una matrice associata ad .

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