Esercizio 1. Si consideri l'endomorfismo \( F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) dato da \[ F(p(x))=p(x+1)-x p^{\prime}(x) \] dove \( p^{\prime}(x) \) indica la derivata prima del polinomio \( p(x) \) (a) Si determini una matrice associata ad \( F \).

Per calcolare la matrice associata all'endomorfismo \( F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \), consideriamo una base canonica del sottospazio: \( \{1, x, x^2\} \). 1. Calcoliamo \( F(1) \): \[ F(1) = 1 - x \cdot 0 = 1 \] 2. Calcoliamo \( F(x) \): \[ F(x) = (x+1) - x \cdot 1 = x + 1 - x = 1 \] 3. Calcoliamo \( F(x^2) \): \[ F(x^2) = (x^2 + 2x + 1) - x \cdot 2x = x^2 + 2x + 1 - 2x^2 = -x^2 + 2x + 1 \] Dopo aver ottenuto i risultati, possiamo esprimere ogni output in termini della base \( \{1, x, x^2\} \): - \( F(1) = 1 \) si scrive come \((1, 0, 0)\) - \( F(x) = 1 \) si scrive come \((1, 0, 0)\) - \( F(x^2) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot x - 1 \cdot x^2\) si scrive come \((1, 2, -1)\) La matrice associata \( A \) rispetto alla base \( \{1, x, x^2\} \) è quindi: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Questo rappresenta l'operazione di \( F \) in forma matriciale, dove le colonne corrispondono ai polinomi della base.