Question
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Soit la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
  1. Montrer que la dérivée de la fonction est la fonction définie sur par .
  2. Étudier les variations de la fonction .
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 .

Ask by Ryan Peters. in Switzerland
Jan 21,2025

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Answer

  1. La dérivée de est .
  2. La fonction est croissante sur et , décroissante sur .
  3. Une équation de la tangente en est .

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The Deep Dive

Pour débuter, calculons la dérivée de la fonction en utilisant la règle de dérivation d’un quotient. Soit et , alors nous appliquons la formule .
Calculons et . En substituant dans la formule :
Développons chaque terme :
Ainsi, on obtient que , ce qui est bien la forme demandée.
Pour étudier les variations de la fonction , nous devons analyser le signe de . Nous cherchons à résoudre , ce qui se factorise en :
donc et . Le signe de est déterminé par les intervalles :
  • : (croissante)
  • : (décroissante)
  • : (croissante)
Cela signifie que a un maximum local en et un minimum local en .
Enfin, pour trouver l’équation de la tangente au point d’abscisse 1, calculons et :
L’équation de la tangente s’écrit alors sous la forme , soit :
Voilà donc la belle tangente à la courbe en : .

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