Question
Soit
la fonction définie sur
par
.
On note
sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
- Montrer que la dérivée de la fonction
est la fonction
définie sur
par
.
- Étudier les variations de la fonction
.
- Donner une équation de la tangente
à la courbe
au point d’abscisse 1 .
On note
Ask by Ryan Peters. in Switzerland
Jan 21,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
- La dérivée de
est . - La fonction
est croissante sur et , décroissante sur . - Une équation de la tangente
en est .
Solution

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The Deep Dive
Pour débuter, calculons la dérivée de la fonction
en utilisant la règle de dérivation d’un quotient. Soit
et
, alors nous appliquons la formule
.
Calculons
et
. En substituant dans la formule :
Développons chaque terme :
Ainsi, on obtient que
, ce qui est bien la forme demandée.
Pour étudier les variations de la fonction
, nous devons analyser le signe de
. Nous cherchons à résoudre
, ce qui se factorise en :
donc
et
. Le signe de
est déterminé par les intervalles :
-
: (croissante) -
: (décroissante) -
: (croissante)
Cela signifie que
a un maximum local en
et un minimum local en
.
Enfin, pour trouver l’équation de la tangente au point d’abscisse 1, calculons
et
:
L’équation de la tangente s’écrit alors sous la forme
, soit :
Voilà donc la belle tangente
à la courbe
en
:
.