Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=\frac{x^{2}-4 x+7}{x^{2}+3} \). On note \( \mathscr{C}_{f} \) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère. 1. Montrer que la dérivée de la fonction \( f \) est la fonction \( f^{\prime} \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f^{\prime}(x)=\frac{4\left(x^{2}-2 x-3\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{2}} \). 2. Étudier les variations de la fonction \( f \). 3. Donner une équation de la tangente \( T \) à la courbe \( C_{f} \) au point d'abscisse 1 .

**1. Calcul de la dérivée de la fonction \( f \)** Pour dériver la fonction \( f(x) = \frac{x^{2} - 4x + 7}{x^{2} + 3} \), nous utilisons la règle du quotient. Soit \( u(x) = x^{2} - 4x + 7 \) et \( v(x) = x^{2} + 3 \). La dérivée de \( f \) est donnée par : \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^{2}} \] Calculons \( u'(x) \) et \( v'(x) \) : \[ u'(x) = 2x - 4 \] \[ v'(x) = 2x \] Appliquons la formule du quotient : \[ f'(x) = \frac{(2x - 4)(x^{2} + 3) - (x^{2} - 4x + 7)(2x)}{(x^{2} + 3)^{2}} \] Développons le numérateur : \[ (2x - 4)(x^{2} + 3) = 2x^{3} + 6x - 4x^{2} - 12 \] \[ (x^{2} - 4x + 7)(2x) = 2x^{3} - 8x^{2} + 14x \] Ainsi, \[ f'(x) = \frac{2x^{3} + 6x - 4x^{2} - 12 - 2x^{3} + 8x^{2} - 14x}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{4x^{2} - 8x - 12}{(x^{2} + 3)^{2}} \] En factorisant le numérateur : \[ 4x^{2} - 8x - 12 = 4(x^{2} - 2x - 3) = 4(x - 3)(x + 1) \] Donc, \[ f'(x) = \frac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} \] Ce qui correspond à l’expression donnée. **2. Étude des variations de la fonction \( f \)** Pour étudier les variations de \( f \), analysons le signe de sa dérivée \( f'(x) \). \[ f'(x) = \frac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{4(x - 3)(x + 1)}{(x^{2} + 3)^{2}} \] Le dénominateur \( (x^{2} + 3)^{2} \) est toujours positif. L'étude du signe de \( f'(x) \) dépend donc du signe du numérateur \( 4(x - 3)(x + 1) \). Les racines du numérateur sont \( x = -1 \) et \( x = 3 \). Créons un tableau de signes : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -1 & 3 & +\infty \\ \hline (x - 3) & - & - & 0 & + \\ \hline (x + 1) & - & 0 & + & + \\ \hline (x - 3)(x + 1) & + & 0 & - & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & + \\ \hline \end{array} \] **Intervalles de signe de \( f'(x) \) :** - \( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty, -1[ \) et \( ]3, +\infty[ \) : la fonction est croissante. - \( f'(x) < 0 \) sur \( ]-1, 3[ \) : la fonction est décroissante. **Conclusion sur les variations :** - \( f \) est croissante sur \( ]-\infty, -1[ \), décroissante sur \( ]-1, 3[ \), et à nouveau croissante sur \( ]3, +\infty[ \). - Il y a un maximum local en \( x = -1 \) et un minimum local en \( x = 3 \). **Calcul des extremums :** \[ f(-1) = \frac{(-1)^{2} - 4(-1) + 7}{(-1)^{2} + 3} = \frac{1 + 4 + 7}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ f(3) = \frac{3^{2} - 4 \cdot 3 + 7}{3^{2} + 3} = \frac{9 - 12 + 7}{9 + 3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] **Asymptote horizontale :** Pour \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \) tend vers \( \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1 \). Donc, la droite \( y = 1 \) est une asymptote horizontale. **3. Équation de la tangente \( T \) à \( \mathscr{C}_{f} \) au point d'abscisse 1** Pour trouver l'équation de la tangente en \( x = 1 \), nous avons besoin de \( f(1) \) et \( f'(1) \). Calculons \( f(1) \) : \[ f(1) = \frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 7}{1^{2} + 3} = \frac{1 - 4 + 7}{1 + 3} = \frac{4}{4} = 1 \] Calculons \( f'(1) \) : \[ f'(1) = \frac{4(1^{2} - 2 \cdot 1 - 3)}{(1^{2} + 3)^{2}} = \frac{4(1 - 2 - 3)}{16} = \frac{4(-4)}{16} = \frac{-16}{16} = -1 \] La tangente \( T \) a pour pente \( m = f'(1) = -1 \) et passe par le point \( (1, 1) \). L'équation de \( T \) est donc : \[ y - 1 = -1(x - 1) \] Ce qui se simplifie en : \[ y = -x + 2 \] **Réponse Finale :** 1. La dérivée de \( f \) est \( f^{\prime}(x) = \dfrac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} \). 2. La fonction \( f \) est croissante sur \( ]-\infty, -1[ \) et \( ]3, +\infty[ \), décroissante sur \( ]-1, 3[ \). 3. Une équation de la tangente \( T \) en \( x = 1 \) est \( y = -x + 2 \).