Soit $$ f $$ la fonction définie sur $$ \mathbb{R} $$ par $$ f(x)=\frac{x^{2}-4 x+7}{x^{2}+3} $$. On note $$ \mathscr{C}_{f} $$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère. 1. Montrer que la dérivée de la fonction $$ f $$ est la fonction $$ f^{\prime} $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par $$ f^{\prime}(x)=\frac{4\left(x^{2}-2 x-3\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{2}} $$. 2. Étudier les variations de la fonction $$ f $$. 3. Donner une équation de la tangente $$ T $$ à la courbe $$ C_{f} $$ au point d'abscisse 1 .

Question

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**1. Calcul de la dérivée de la fonction $$ f $$**

Pour dériver la fonction $$ f(x) = \frac{x^{2} - 4x + 7}{x^{2} + 3} $$, nous utilisons la règle du quotient. Soit $$ u(x) = x^{2} - 4x + 7 $$ et $$ v(x) = x^{2} + 3 $$. La dérivée de $$ f $$ est donnée par :

$$
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^{2}}
$$

Calculons $$ u'(x) $$ et $$ v'(x) $$ :

$$
u'(x) = 2x - 4
$$
$$
v'(x) = 2x
$$

Appliquons la formule du quotient :

$$
f'(x) = \frac{(2x - 4)(x^{2} + 3) - (x^{2} - 4x + 7)(2x)}{(x^{2} + 3)^{2}}
$$

Développons le numérateur :

$$
(2x - 4)(x^{2} + 3) = 2x^{3} + 6x - 4x^{2} - 12
$$
$$
(x^{2} - 4x + 7)(2x) = 2x^{3} - 8x^{2} + 14x
$$

Ainsi,

$$
f'(x) = \frac{2x^{3} + 6x - 4x^{2} - 12 - 2x^{3} + 8x^{2} - 14x}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{4x^{2} - 8x - 12}{(x^{2} + 3)^{2}}
$$

En factorisant le numérateur :

$$
4x^{2} - 8x - 12 = 4(x^{2} - 2x - 3) = 4(x - 3)(x + 1)
$$

Donc,

$$
f'(x) = \frac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}}
$$

Ce qui correspond à l’expression donnée.

**2. Étude des variations de la fonction $$ f $$**

Pour étudier les variations de $$ f $$, analysons le signe de sa dérivée $$ f'(x) $$.

$$
f'(x) = \frac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{4(x - 3)(x + 1)}{(x^{2} + 3)^{2}}
$$

Le dénominateur $$ (x^{2} + 3)^{2} $$ est toujours positif. L'étude du signe de $$ f'(x) $$ dépend donc du signe du numérateur $$ 4(x - 3)(x + 1) $$.

Les racines du numérateur sont $$ x = -1 $$ et $$ x = 3 $$. Créons un tableau de signes :

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -1 & 3 & +\infty \
\hline
(x - 3) & - & - & 0 & + \
\hline
(x + 1) & - & 0 & + & + \
\hline
(x - 3)(x + 1) & + & 0 & - & + \
\hline
f'(x) & + & 0 & - & + \
\hline
\end{array}
$$

**Intervalles de signe de $$ f'(x) $$ :**
- $$ f'(x) > 0 $$ sur $$ ]-\infty, -1[ $$ et $$ ]3, +\infty[ $$ : la fonction est croissante.
- $$ f'(x) < 0 $$ sur $$ ]-1, 3[ $$ : la fonction est décroissante.

**Conclusion sur les variations :**
- $$ f $$ est croissante sur $$ ]-\infty, -1[ $$, décroissante sur $$ ]-1, 3[ $$, et à nouveau croissante sur $$ ]3, +\infty[ $$.
- Il y a un maximum local en $$ x = -1 $$ et un minimum local en $$ x = 3 $$.

**Calcul des extremums :**
$$
f(-1) = \frac{(-1)^{2} - 4(-1) + 7}{(-1)^{2} + 3} = \frac{1 + 4 + 7}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3
$$
$$
f(3) = \frac{3^{2} - 4 \cdot 3 + 7}{3^{2} + 3} = \frac{9 - 12 + 7}{9 + 3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
$$

**Asymptote horizontale :**

Pour $$ x \to \pm\infty $$, $$ f(x) $$ tend vers $$ \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1 $$. Donc, la droite $$ y = 1 $$ est une asymptote horizontale.

**3. Équation de la tangente $$ T $$ à $$ \mathscr{C}_{f} $$ au point d'abscisse 1**

Pour trouver l'équation de la tangente en $$ x = 1 $$, nous avons besoin de $$ f(1) $$ et $$ f'(1) $$.

Calculons $$ f(1) $$ :

$$
f(1) = \frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 7}{1^{2} + 3} = \frac{1 - 4 + 7}{1 + 3} = \frac{4}{4} = 1
$$

Calculons $$ f'(1) $$ :

$$
f'(1) = \frac{4(1^{2} - 2 \cdot 1 - 3)}{(1^{2} + 3)^{2}} = \frac{4(1 - 2 - 3)}{16} = \frac{4(-4)}{16} = \frac{-16}{16} = -1
$$

La tangente $$ T $$ a pour pente $$ m = f'(1) = -1 $$ et passe par le point $$ (1, 1) $$. L'équation de $$ T $$ est donc :

$$
y - 1 = -1(x - 1)
$$

Ce qui se simplifie en :

$$
y = -x + 2
$$

**Réponse Finale :**

1. La dérivée de $$ f $$ est $$ f^{\prime}(x) = \dfrac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} $$.
2. La fonction $$ f $$ est croissante sur $$ ]-\infty, -1[ $$ et $$ ]3, +\infty[ $$, décroissante sur $$ ]-1, 3[ $$.
3. Une équation de la tangente $$ T $$ en $$ x = 1 $$ est $$ y = -x + 2 $$.
1. La dérivée de $$ f $$ est $$ f^{\prime}(x) = \frac{4(x^{2} - 2x - 3)}{(x^{2} + 3)^{2}} $$. 2. La fonction $$ f $$ est croissante sur $$ ]-\infty, -1[ $$ et $$ ]3, +\infty[ $$, décroissante sur $$ ]-1, 3[ $$. 3. Une équation de la tangente $$ T $$ en $$ x = 1 $$ est $$ y = -x + 2 $$.

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